Задача 1
Найти длину отрезка АВ и координаты его середины, если А(-3;-4) и В(5;-2).
Шаг 1: Нахождение длины отрезка АВ
Чтобы найти длину отрезка между двумя точками A(x1, y1) и B(x2, y2), используем формулу:
[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} ]
Подставляем координаты точек A и B:
- A(-3, -4) → ( x_1 = -3, y_1 = -4 )
- B(5, -2) → ( x_2 = 5, y_2 = -2 )
Теперь считаем:
[
AB = \sqrt{(5 - (-3))^2 + (-2 - (-4))^2}
]
[
= \sqrt{(5 + 3)^2 + (-2 + 4)^2}
]
[
= \sqrt{8^2 + 2^2}
]
[
= \sqrt{64 + 4}
]
[
= \sqrt{68}
]
[
= 2\sqrt{17}
]
Ответ: Длина отрезка AB равна ( 2\sqrt{17} ).
Шаг 2: Нахождение координат середины отрезка АВ
Координаты середины отрезка (M) находятся по формуле:
[ M(x, y) = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) ]
Подставляем координаты точек A и B:
[
M(x, y) = \left( \frac{-3 + 5}{2}, \frac{-4 - 2}{2} \right)
]
[
= \left( \frac{2}{2}, \frac{-6}{2} \right) = (1, -3)
]
Ответ: Координаты середины отрезка AB равны (1; -3).
Задача 2
Составьте уравнение окружности, центр которой находится в точке M(1;-3) и которая проходит через точку B(-2; 5).
Шаг 1: Нахождение радиуса окружности
Радиус окружности (r) равен расстоянию от центра окружности до любой точки на окружности. Для этого используем ту же формулу расстояния.
Центр M(1, -3) и точка B(-2, 5):
[
r = MB = \sqrt{(x_B - x_M)^2 + (y_B - y_M)^2}
]
[
= \sqrt{(-2 - 1)^2 + (5 - (-3))^2}
]
[
= \sqrt{(-3)^2 + (5 + 3)^2}
]
[
= \sqrt{9 + 64} = \sqrt{73}
]
Шаг 2: Составление уравнения окружности
Уравнение окружности имеет вид:
[
(x - x_M)^2 + (y - y_M)^2 = r^2
]
Подставляем найденные значения:
[
(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = (\sqrt{73})^2
]
[
(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 73
]
Ответ: Уравнение окружности: ( (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 73 ).
Задача 3
Составьте уравнение прямой, проходящей через точки N(-3; 7) и K(5; -3).
Шаг 1: Нахождение углового коэффициента (k)
Угловой коэффициент определяется по формуле:
[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} ]
Подставляем значения для точек N и K:
[
k = \frac{-3 - 7}{5 - (-3)} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4}
]
Шаг 2: Составление уравнения прямой
Уравнение прямой можно записать в виде:
[ y - y_1 = k(x - x_1) ]
Выбираем точку N(-3; 7):
[
y - 7 = -\frac{5}{4}(x + 3)
]
Приведем уравнение к общему виду:
[
y - 7 = -\frac{5}{4}x - \frac{15}{4}
]
[
y = -\frac{5}{4}x + 7 - \frac{15}{4}
]
Приведем 7 к общему знаменателю:
[
7 = \frac{28}{4}
]
Теперь подставим:
[
y = -\frac{5}{4}x + \frac{28}{4} - \frac{15}{4} = -\frac{5}{4}x + \frac{13}{4}
]
Умножим на 4, чтобы избавиться от дробей:
[
4y = -5x + 13
]
Приведем к стандартному виду:
[
5x + 4y - 13 = 0
]
Ответ: Уравнение прямой: ( 5x + 4y - 13 = 0 ).
