Вариант 2 1. Найдите длину отрезка АВ и координаты его середины, если А(-3;-4) и В(5;-2). 2.Составьте уравнение окружности, центр которой находится в точке М(1;-3) и которая…

Задача 1

Найти длину отрезка АВ и координаты его середины, если А(-3;-4) и В(5;-2).

Шаг 1: Нахождение длины отрезка АВ

Чтобы найти длину отрезка между двумя точками A(x1, y1) и B(x2, y2), используем формулу: \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Подставляем координаты точек A и B:

• A(-3, -4) → \( x_1 = -3, y_1 = -4 \)
• B(5, -2) → \( x_2 = 5, y_2 = -2 \)

Теперь считаем: \[ AB = \sqrt{(5 - (-3))^2 + (-2 - (-4))^2} \] \[ = \sqrt{(5 + 3)^2 + (-2 + 4)^2} \] \[ = \sqrt{8^2 + 2^2} \] \[ = \sqrt{64 + 4} \] \[ = \sqrt{68} \] \[ = 2\sqrt{17} \]

Ответ: Длина отрезка AB равна \( 2\sqrt{17} \).

Шаг 2: Нахождение координат середины отрезка АВ

Координаты середины отрезка (M) находятся по формуле: \[ M(x, y) = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \]

Подставляем координаты точек A и B: \[ M(x, y) = \left( \frac{-3 + 5}{2}, \frac{-4 - 2}{2} \right) \] \[ = \left( \frac{2}{2}, \frac{-6}{2} \right) = (1, -3) \]

Ответ: Координаты середины отрезка AB равны (1; -3).

Задача 2

Составьте уравнение окружности, центр которой находится в точке M(1;-3) и которая проходит через точку B(-2; 5).

Шаг 1: Нахождение радиуса окружности

Радиус окружности (r) равен расстоянию от центра окружности до любой точки на окружности. Для этого используем ту же формулу расстояния. Центр M(1, -3) и точка B(-2, 5): \[ r = MB = \sqrt{(x_B - x_M)^2 + (y_B - y_M)^2} \] \[ = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (5 - (-3))^2} \] \[ = \sqrt{(-3)^2 + (5 + 3)^2} \] \[ = \sqrt{9 + 64} = \sqrt{73} \]

Шаг 2: Составление уравнения окружности

Уравнение окружности имеет вид: \[ (x - x_M)^2 + (y - y_M)^2 = r^2 \] Подставляем найденные значения: \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = (\sqrt{73})^2 \] \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 73 \]

Ответ: Уравнение окружности: \( (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 73 \).

Задача 3

Составьте уравнение прямой, проходящей через точки N(-3; 7) и K(5; -3).

Шаг 1: Нахождение углового коэффициента (k)

Угловой коэффициент определяется по формуле: \[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

Подставляем значения для точек N и K: \[ k = \frac{-3 - 7}{5 - (-3)} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4} \]

Шаг 2: Составление уравнения прямой

Уравнение прямой можно записать в виде: \[ y - y_1 = k(x - x_1) \]

Выбираем точку N(-3; 7): \[ y - 7 = -\frac{5}{4}(x + 3) \]

Приведем уравнение к общему виду: \[ y - 7 = -\frac{5}{4}x - \frac{15}{4} \] \[ y = -\frac{5}{4}x + 7 - \frac{15}{4} \] Приведем 7 к общему знаменателю: \[ 7 = \frac{28}{4} \] Теперь подставим: \[ y = -\frac{5}{4}x + \frac{28}{4} - \frac{15}{4} = -\frac{5}{4}x + \frac{13}{4} \]

Умножим на 4, чтобы избавиться от дробей: \[ 4y = -5x + 13 \] Приведем к стандартному виду: \[ 5x + 4y - 13 = 0 \]

Ответ: Уравнение прямой: \( 5x + 4y - 13 = 0 \).