Напишите уравнение окружности с центром в точке Е(1;-3), проходящей через точку F(6;1)

Чтобы написать уравнение окружности с заданным центром и точкой на окружности, нужно использовать стандартную формулу уравнения окружности.

Уравнение окружности с центром в точке \( E(a, b) \) и радиусом \( r \) выглядит так:

\[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \]

Шаг 1: Определим центр окружности.
В данной задаче центр окружности \( E(1, -3) \). Здесь \( a = 1 \) и \( b = -3 \).

Шаг 2: Найдем радиус.
Радиус \( r \) равен расстоянию от центра окружности \( E \) до точки \( F(6, 1) \). Чтобы найти это расстояние, используем формулу расстояния между двумя точками:

\[ r = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Здесь \( (x_1, y_1) \) — это координаты центра \( E(1, -3) \), а \( (x_2, y_2) \) — координаты точки \( F(6, 1) \).

Подставим значения в формулу:

\[ r = \sqrt{(6 - 1)^2 + (1 + 3)^2} \] \[ r = \sqrt{(5)^2 + (4)^2} \] \[ r = \sqrt{25 + 16} \] \[ r = \sqrt{41} \]

Шаг 3: Запишем уравнение окружности.
Теперь подставим \( a \), \( b \) и \( r^2 \) в уравнение окружности:

\[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = (\sqrt{41})^2 \]

Так как \( r^2 = 41 \), уравнение окружности примет следующий вид:

\[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 41 \]

Ответ:
Уравнение окружности с центром в точке \( E(1, -3) \) и проходящей через точку \( F(6, 1) \) имеет вид:

\[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 41 \]