№2 Расстояние между двумя селами, равное 120 км, один мотоциклист проезжает на 30 мин быстрее, чем второй. Найти скорость каждого мотоциклиста, если известно, что скорость второго на 20 км/ч меньше скорости первого. (Обязательно переведите минуты

Чтобы решить задачу, давайте обозначим переменные и шаг за шагом разберёмся с данными. 1. **Обозначим скорости мотоциклистов:** - Пусть скорость первого мотоциклиста равна \( v_1 \) (км/ч). - Тогда скорость второго мотоциклиста будет \( v_2 = v_1 - 20 \) (км/ч). 2. **Определим время в пути:** - Расстояние между селами равно 120 км. - Время, затраченное первым мотоциклистом, составит \( \frac{120}{v_1} \) (часы). - Время, затраченное вторым мотоциклистом, составит \( \frac{120}{v_2} \) (часы). 3. **Запишем условие задачи:** - Первый мотоциклист проезжает расстояние на 30 минут быстрее второго. Мы знаем, что 30 минут — это \( \frac{30}{60} = 0.5 \) часа. - Таким образом, мы можем записать уравнение: \[ \frac{120}{v_2} - \frac{120}{v_1} = 0.5 \] 4. **Подставим выражение для \( v_2 \):** - Подставим \( v_2 \) в уравнение: \[ \frac{120}{v_1 - 20} - \frac{120}{v_1} = 0.5 \] 5. **Умножим всё уравнение на \( v_1(v_1 - 20) \):** - Это позволит избавиться от дробей: \[ 120v_1 - 120(v_1 - 20) = 0.5 \cdot v_1(v_1 - 20) \] - Упростим это: \[ 120v_1 - 120v_1 + 2400 = 0.5v_1^2 - 10v_1 \] - Это упрощается до: \[ 2400 = 0.5v_1^2 - 10v_1 \] 6. **Умножим всё на 2, чтобы избавиться от дроби:** \[ 4800 = v_1^2 - 20v_1 \] - Перепишем уравнение: \[ v_1^2 - 20v_1 - 4800 = 0 \] 7. **Решим квадратное уравнение:** - Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4800) \] \[ D = 400 + 19200 = 19600 \] - Теперь найдём корни: \[ v_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 \pm \sqrt{19600}}{2} \] - Так как \( \sqrt{19600} = 140 \): \[ v_1 = \frac{20 \pm 140}{2} \] - Это даёт два решения: \[ v_1 = \frac{160}{2} = 80 \quad \text{и} \quad v_1 = \frac{-120}{2} = -60 \, (\text{не имеет смысла}) \] 8. **Находим скорость второго мотоциклиста:** - Тогда скорость первого мотоциклиста \( v_1 = 80 \) км/ч. - Скорость второго мотоциклиста: \[ v_2 = v_1 - 20 = 80 - 20 = 60 \text{ км/ч} \] **Ответ:** Скорость первого мотоциклиста составляет **80 км/ч**, скорость второго мотоциклиста составляет **60 км/ч**.