№2 Расстояние между двумя селами, равное 120 км, один мотоциклист проезжает на 30 мин быстрее, чем второй. Найти скорость каждого мотоциклиста, если известно, что скорость второго…

Чтобы решить задачу, давайте обозначим переменные и шаг за шагом разберёмся с данными.

1. Обозначим скорости мотоциклистов:

   • Пусть скорость первого мотоциклиста равна \( v_1 \) (км/ч).
   • Тогда скорость второго мотоциклиста будет \( v_2 = v_1 - 20 \) (км/ч).

2. Определим время в пути:

   • Расстояние между селами равно 120 км.
   • Время, затраченное первым мотоциклистом, составит \( \frac{120}{v_1} \) (часы).
   • Время, затраченное вторым мотоциклистом, составит \( \frac{120}{v_2} \) (часы).

3. Запишем условие задачи:

   • Первый мотоциклист проезжает расстояние на 30 минут быстрее второго. Мы знаем, что 30 минут — это \( \frac{30}{60} = 0.5 \) часа.
   • Таким образом, мы можем записать уравнение: \[ \frac{120}{v_2} - \frac{120}{v_1} = 0.5 \]

4. Подставим выражение для \( v_2 \):

   • Подставим \( v_2 \) в уравнение: \[ \frac{120}{v_1 - 20} - \frac{120}{v_1} = 0.5 \]

5. Умножим всё уравнение на \( v_1(v_1 - 20) \):

   • Это позволит избавиться от дробей: \[ 120v_1 - 120(v_1 - 20) = 0.5 \cdot v_1(v_1 - 20) \]
   • Упростим это: \[ 120v_1 - 120v_1 + 2400 = 0.5v_1^2 - 10v_1 \]
   • Это упрощается до: \[ 2400 = 0.5v_1^2 - 10v_1 \]

6. Умножим всё на 2, чтобы избавиться от дроби: \[ 4800 = v_1^2 - 20v_1 \]

   • Перепишем уравнение: \[ v_1^2 - 20v_1 - 4800 = 0 \]

7. Решим квадратное уравнение:

   • Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4800) \] \[ D = 400 + 19200 = 19600 \]
   • Теперь найдём корни: \[ v_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 \pm \sqrt{19600}}{2} \]
   • Так как \( \sqrt{19600} = 140 \): \[ v_1 = \frac{20 \pm 140}{2} \]
   • Это даёт два решения: \[ v_1 = \frac{160}{2} = 80 \quad \text{и} \quad v_1 = \frac{-120}{2} = -60 \, (\text{не имеет смысла}) \]

8. Находим скорость второго мотоциклиста:

   • Тогда скорость первого мотоциклиста \( v_1 = 80 \) км/ч.
   • Скорость второго мотоциклиста: \[ v_2 = v_1 - 20 = 80 - 20 = 60 \text{ км/ч} \]

Ответ:
Скорость первого мотоциклиста составляет 80 км/ч, скорость второго мотоциклиста составляет 60 км/ч.