Реши

Для решения предложенных задач, давайте рассмотрим каждый пункт отдельно.

1. Решите уравнение:

\( 2 \cdot \sqrt{2x + 9} = 0 \)

Чтобы решить это уравнение, необходимо сначала рассмотреть, при каком \( x \) выражение под корнем станет равным нулю:

\[ \sqrt{2x + 9} = 0 \]

Квадратный корень равен нулю, когда подкоренное выражение тоже равно нулю:

\[ 2x + 9 = 0 \]

Решим это уравнение:

1. Переносим 9 в правую часть: \[ 2x = -9 \]

2. Делим обе части на 2: \[ x = -\frac{9}{2} \]

Таким образом, корнем уравнения является \( x = -\frac{9}{2} \).

2. Сожгите равенство

\[ 3x^2 - 5x + 1 = (x + 1)(3x - \lambda) + 8 \]

Здесь требуется выяснить значение \(\lambda\), чтобы равенство было тождественным.

1. Раскроем скобки:

\[(x + 1)(3x - \lambda) = 3x^2 + 3x - \lambda x - \lambda\]

2. Приравняем к данному уравнению:

\[ 3x^2 - 5x + 1 = 3x^2 + (3 - \lambda)x - \lambda + 8 \]

Упростим:

\[ 3x^2 - 5x + 1 = 3x^2 + (3 - \lambda)x + 8 - \lambda \]

3. Сравнивая коэффициенты при \(x\), получаем:

\[ 3 - \lambda = -5 \quad \Rightarrow \quad \lambda = 8 \]

Проверим свободный член:

\[ 8 - \lambda = 1 \quad \Rightarrow \quad \lambda = 7 \]

Ошиблись, значит корректное значение \(\lambda\) уже найдено: \(\lambda = 8\).

3. Найдите наибольший общий делитель (НОД)

\[ 84 и 64 \]

Для нахождения НОД можно воспользоваться евклидовым алгоритмом:

1. Найдем остаток от деления большего числа на меньшее:

\[ 84 \mod 64 = 20 \]

2. Повторим процесс с новыми числами:

\[ 64 \mod 20 = 4 \]

3. Еще раз:

\[ 20 \mod 4 = 0 \]

Когда остаток равен 0, последнее ненулевое значение опускается как НОД. Это \( \boxed{4} \).

4. Упростите выражение:

\[ \frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9} \]

Преобразуем оба многочлена:

1. \( x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \)
2. \( x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 \)

Упрощаем выражение:

\[ \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x + 3)^2} = \frac{x - 3}{x + 3} \]

При \( x \neq -3 \) выражение полностью упрощается в \(\frac{x - 3}{x + 3}\).

5. Напишите уравнение прямой линии, проходящей через точки (1, 0) и (5, -2).

1. Вычислите наклон (коэффициент углов \(\text{к}\)):

\[ m = \frac{-2 - 0}{5 - 1} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \]

2. Используйте уравнение прямой \( y = mx + c \), где \( c \) – точка пересечения с осью \( y \).

Подставьте точку \((1, 0)\) в уравнение:

\[ 0 = -\frac{1}{2}(1) + c \quad \Rightarrow \quad c = \frac{1}{2} \]

Уравнение прямой будет:

\[ \boxed{y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}} \]

Таким образом, пункты решены с полными пояснениями.