Реши

Для решения предложенных задач, давайте рассмотрим каждый пункт отдельно. ### 1. Решите уравнение: \( 2 \cdot \sqrt{2x + 9} = 0 \) Чтобы решить это уравнение, необходимо сначала рассмотреть, при каком \( x \) выражение под корнем станет равным нулю: \[ \sqrt{2x + 9} = 0 \] Квадратный корень равен нулю, когда подкоренное выражение тоже равно нулю: \[ 2x + 9 = 0 \] Решим это уравнение: 1. Переносим 9 в правую часть: \[ 2x = -9 \] 2. Делим обе части на 2: \[ x = -\frac{9}{2} \] Таким образом, корнем уравнения является \( x = -\frac{9}{2} \). ### 2. Сожгите равенство \[ 3x^2 - 5x + 1 = (x + 1)(3x - \lambda) + 8 \] Здесь требуется выяснить значение \(\lambda\), чтобы равенство было тождественным. 1. Раскроем скобки: \[(x + 1)(3x - \lambda) = 3x^2 + 3x - \lambda x - \lambda\] 2. Приравняем к данному уравнению: \[ 3x^2 - 5x + 1 = 3x^2 + (3 - \lambda)x - \lambda + 8 \] Упростим: \[ 3x^2 - 5x + 1 = 3x^2 + (3 - \lambda)x + 8 - \lambda \] 3. Сравнивая коэффициенты при \(x\), получаем: \[ 3 - \lambda = -5 \quad \Rightarrow \quad \lambda = 8 \] Проверим свободный член: \[ 8 - \lambda = 1 \quad \Rightarrow \quad \lambda = 7 \] Ошиблись, значит корректное значение \(\lambda\) уже найдено: \(\lambda = 8\). ### 3. Найдите наибольший общий делитель (НОД) \[ 84 и 64 \] Для нахождения НОД можно воспользоваться евклидовым алгоритмом: 1. Найдем остаток от деления большего числа на меньшее: \[ 84 \mod 64 = 20 \] 2. Повторим процесс с новыми числами: \[ 64 \mod 20 = 4 \] 3. Еще раз: \[ 20 \mod 4 = 0 \] Когда остаток равен 0, последнее ненулевое значение опускается как НОД. Это \( \boxed{4} \). ### 4. Упростите выражение: \[ \frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9} \] Преобразуем оба многочлена: 1. \( x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \) 2. \( x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 \) Упрощаем выражение: \[ \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x + 3)^2} = \frac{x - 3}{x + 3} \] При \( x \neq -3 \) выражение полностью упрощается в \(\frac{x - 3}{x + 3}\). ### 5. Напишите уравнение прямой линии, проходящей через точки (1, 0) и (5, -2). 1. Вычислите наклон (коэффициент углов \(\text{к}\)): \[ m = \frac{-2 - 0}{5 - 1} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \] 2. Используйте уравнение прямой \( y = mx + c \), где \( c \) – точка пересечения с осью \( y \). Подставьте точку \((1, 0)\) в уравнение: \[ 0 = -\frac{1}{2}(1) + c \quad \Rightarrow \quad c = \frac{1}{2} \] Уравнение прямой будет: \[ \boxed{y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}} \] Таким образом, пункты решены с полными пояснениями.