решите уравнение x⁴-26x²+25=0
Давайте решим уравнение \( x^4 - 26x^2 + 25 = 0 \) шаг за шагом.
Шаг 1: Подстановка
Сначала сделаем подстановку, чтобы упростить уравнение. Обозначим \( y = x^2 \). Таким образом, уравнение преобразуется в:
\[ y^2 - 26y + 25 = 0 \]
Шаг 2: Решение квадратного уравнения
Теперь у нас есть квадратное уравнение \( y^2 - 26y + 25 = 0 \). Мы можем решить его с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта выглядит следующим образом:
\[ D = b^2 - 4ac \]
где \( a = 1 \), \( b = -26 \), \( c = 25 \).
Подставим значения:
\[ D = (-26)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 676 - 100 = 576 \]
Шаг 3: Корни квадратного уравнения
Теперь, когда мы нашли дискриминант, можем найти корни уравнения по формуле:
\[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставим значения:
\[ y_{1,2} = \frac{26 \pm \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{26 \pm 24}{2} \]
Теперь найдем два корня:
- \( y_1 = \frac{26 + 24}{2} = \frac{50}{2} = 25 \)
- \( y_2 = \frac{26 - 24}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
Шаг 4: Возврат к оригинальному уравнению
Так как \( y = x^2 \), мы можем записать:
- \( x^2 = 25 \)
- \( x^2 = 1 \)
Теперь найдем значения \( x \):
- \( x^2 = 25 \) даёт \( x = \pm 5 \)
- \( x^2 = 1 \) даёт \( x = \pm 1 \)
Шаг 5: Итоговый ответ
Таким образом, окончательные решения уравнения \( x^4 - 26x^2 + 25 = 0 \) следующие:
\[ x = 5, \quad x = -5, \quad x = 1, \quad x = -1 \]
Вывод
Решение уравнения показало нам, что у него четыре корня: \( x = 5, -5, 1, -1 \). Если у вас есть дополнительные вопросы по этому решению или другие задачи, не стесняйтесь спрашивать!
