Ознакомьтесь с ситуацией.
Студенты выпускного курса технического колледжа Михаил и Дмитрий работают в родной альма-матер инструкторами секции по управлению дронами. Ребята умело совмещают учебу с работой и активно принимают участие во всех соревнованиях по управлению беспилотными летательными аппаратами, проводимых не только в их регионе, но и за его пределами.
Так, для очередных соревнований Михаил и Дмитрий решили приобрести свои собственные дроны. В магазине им приглянулась модель беспилотника стоимостью 47 000 руб. и каждый из них 1 октября 2024 года оформил кредит на 3 месяца под 30% годовых. Поскольку ребята обратились в разные банки, они решили сравнить графики платежей по кредитам. В силу того, что Михаил взял кредит, предусматривающий его погашение дифференцированными платежами, а Дмитрий аннуитетными платежами, графики выглядели по-разному.
Укажите, какова разница в суммах переплат по взятым ребятами кредитам? При расчетах используйте метод математического округления двух знаков после запятой.
Для решения задачи о сравнении кредитов, которые оформили Михаил и Дмитрий, начнем с определения основных понятий и формул, которые нам понадобятся для расчета сумм переплат по кредитам.
### Исходные данные:
- **Сумма кредита**: 47 000 руб.
- **Срок кредита**: 3 месяца (или 0,25 года)
- **Процентная ставка**: 30% годовых.
### 1. Расчет по кредиту Михаила (дифференцированные платежи)
При дифференцированных платежах сумма основного долга погашается равными частями, а проценты начисляются на оставшуюся сумму долга.
- **Ежемесячная часть основного долга**:
\[
\text{Ежемесячный платеж по основному долгу} = \frac{47\,000}{3} = 15\,666.67 \text{ руб.}
\]
- **Проценты за первый месяц**:
\[
\text{Проценты за 1-й месяц} = 47\,000 \times \frac{30\%}{12} = 47\,000 \times 0.025 = 1\,175 \text{ руб.}
\]
- **Общая сумма первого платежа**:
\[
\text{Платеж 1} = 15\,666.67 + 1\,175 = 16\,841.67 \text{ руб.}
\]
- **Проценты за второй месяц** (оставшийся долг):
\[
\text{Оставшийся долг} = 47\,000 - 15\,666.67 = 31\,333.33 \text{ руб.}
\]
\[
\text{Проценты за 2-й месяц} = 31\,333.33 \times 0.025 = 783.33 \text{ руб.}
\]
- **Общая сумма второго платежа**:
\[
\text{Платеж 2} = 15\,666.67 + 783.33 = 16\,450.00 \text{ руб.}
\]
- **Проценты за третий месяц** (оставшийся долг):
\[
\text{Оставшийся долг} = 31\,333.33 - 15\,666.67 = 15\,666.66 \text{ руб.}
\]
\[
\text{Проценты за 3-й месяц} = 15\,666.66 \times 0.025 = 391.67 \text{ руб.}
\]
- **Общая сумма третьего платежа**:
\[
\text{Платеж 3} = 15\,666.67 + 391.67 = 16\,058.34 \text{ руб.}
\]
- **Итоговая сумма платежей Михаила**:
\[
\text{Итого} = 16\,841.67 + 16\,450.00 + 16\,058.34 = 49\,350.01 \text{ руб.}
\]
- **Переплата Михаила**:
\[
\text{Переплата} = 49\,350.01 - 47\,000 = 2\,350.01 \text{ руб.}
\]
### 2. Расчет по кредиту Дмитрия (аннуитетные платежи)
При аннуитетных платежах сумма кредита погашается равными частями с учетом процентов, что делает размер каждого платежа одинаковым.
- **Формула аннуитета**:
\[
A = P \times \frac{r(1 + r)^n}{(1 + r)^n - 1}
\]
где:
- \( A \) — аннуитетный платеж,
- \( P \) — сумма кредита (47 000 руб.),
- \( r \) — месячная процентная ставка (30%/12 = 0.025),
- \( n \) — количество месяцев (3).
Подставим данные в формулу:
\[
A = 47\,000 \times \frac{0.025(1 + 0.025)^3}{(1 + 0.025)^3 - 1}
\]
Сначала найдем \((1 + 0.025)^3\):
\[
(1 + 0.025)^3 = 1.025^3 \approx 1.077
\]
Теперь подставляем:
\[
A = 47\,000 \times \frac{0.025 \times 1.077}{1.077 - 1} = 47\,000 \times \frac{0.026925}{0.077} \approx 47\,000 \times 0.349 = 16\,391.00 \text{ руб.}
\]
- **Итоговая сумма платежей Дмитрия**:
\[
\text{Итого} = 16\,391.00 \times 3 = 49\,173.00 \text{ руб.}
\]
- **Переплата Дмитрия**:
\[
\text{Переплата} = 49\,173.00 - 47\,000 = 2\,173.00 \text{ руб.}
\]
### 3. Разница в суммах переплат
Теперь, чтобы узнать разницу между переплатами Михаила и Дмитрия:
\[
\text{Разница} = 2\,350.01 - 2\,173.00 = 177.01 \text{ руб.}
\]
### Ответ
Разница в суммах переплат по взятым ребятами кредитам составляет **177.01 руб.**
