Для решения задачи о слесарях, обозначим через ( x ) время, за которое первый слесарь может выполнить задание в одиночку, а через ( y ) — время, за которое второй слесарь может выполнить задание в одиночку.
Из условия задачи мы знаем:
Вместе они выполняют задание за 12 часов. Значит, их совместная производительность выражается уравнением:
[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}
]
Если первый слесарь выполняет половину задания, а второй — оставшуюся часть, то первому требуется на 5 часов больше. То есть:
[
\frac{x}{2} = \frac{y}{2} + 5
]
Теперь решим систему этих уравнений.
Упрощение и решение второго уравнения:
[
\frac{x}{2} = \frac{y}{2} + 5
]
[
x = y + 10 \tag{1}
]
Подставим (1) в первое уравнение:
[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}
]
Подставим ( x = y + 10 ):
[
\frac{1}{y + 10} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}
]
Теперь приведем уравнение к общему знаменателю:
[
\frac{y + (y + 10)}{y(y + 10)} = \frac{1}{12}
]
[
\frac{2y + 10}{y^2 + 10y} = \frac{1}{12}
]
Домножим обе части на ( 12(y^2 + 10y) ) для упрощения:
[
12(2y + 10) = y^2 + 10y
]
Упростим полученное уравнение:
[
24y + 120 = y^2 + 10y
]
Перенесем всё в одну сторону:
[
y^2 - 14y - 120 = 0
]
Решим квадратное уравнение:
Используем формулу квадратного уравнения:
[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
Где ( a = 1, b = -14, c = -120 ). Подставим:
[
y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 480}}{2}
]
[
y = \frac{14 \pm \sqrt{676}}{2}
]
[
y = \frac{14 \pm 26}{2}
]
Получаем два возможных значения для ( y ):
- ( y = \frac{40}{2} = 20 )
- ( y = \frac{-12}{2} = -6 ) (не подходит, поскольку время не может быть отрицательным)
Найдем ( x ) используя ( x = y + 10 ):
[
x = 20 + 10 = 30
]
Таким образом, первый слесарь мог бы выполнить задание за 30 часов, а второй за 20 часов.
