найдите сумму 5 первых членов геометрической прогрессии bn если b1=27 p=-1÷3

Для нахождения суммы первых 5 членов геометрической прогрессии, давайте выясним, что это такое.

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое siguiente число (член прогрессии) получается умножением предыдущего числа на постоянное число, называемое знаменателем прогрессии (в данном случае — это p).

Ваша задача:

• Первая часть (b1) — это первый член прогрессии, который равен 27.
• Вторая часть (p) — это знаменатель прогрессии, который равен -1/3.

Теперь представим первые 5 членов прогрессии:

1. b1 = 27
2. b2 = b1 * p = 27 * (-1/3) = -9
3. b3 = b2 * p = -9 * (-1/3) = 3
4. b4 = b3 * p = 3 * (-1/3) = -1
5. b5 = b4 * p = -1 * (-1/3) = 1/3

Теперь у нас есть первые 5 членов геометрической прогрессии:

• b1 = 27
• b2 = -9
• b3 = 3
• b4 = -1
• b5 = 1/3

Следующий шаг — это найти сумму этих пяти членов.

Сумма S5 первых n членов геометрической прогрессии может быть найдена по формуле: \[ S_n = b_1 \cdot \frac{1 - p^n}{1 - p} \quad (если \, p \neq 1) \] где:

• \(S_n\) — сумма n первых членов,
• \(b_1\) — первый член прогрессии,
• \(p\) — знаменатель прогрессии,
• \(n\) — количество членов.

В нашем случае:

• \(b_1 = 27\),
• \(p = -1/3\),
• \(n = 5\).

Теперь подставим значения в формулу:

1. Сначала найдем \(p^n\): \[ p^5 = \left(-\frac{1}{3}\right)^5 = -\frac{1}{243} \]

2. Теперь подставим в формулу: \[ S_5 = 27 \cdot \frac{1 - \left(-\frac{1}{243}\right)}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)} \]

3. Упрощаем: \[ 1 - \left(-\frac{1}{243}\right) = 1 + \frac{1}{243} = \frac{243 + 1}{243} = \frac{244}{243} \]

   \[ 1 - \left(-\frac{1}{3}\right) = 1 + \frac{1}{3} = \frac{3 + 1}{3} = \frac{4}{3} \]

4. Подставляем обратно в формулу: \[ S_5 = 27 \cdot \frac{\frac{244}{243}}{\frac{4}{3}} = 27 \cdot \frac{244}{243} \cdot \frac{3}{4} \]

5. Упрощаем: \[ S_5 = 27 \cdot \frac{244 \cdot 3}{243 \cdot 4} = 27 \cdot \frac{732}{972} \] Можно упростить 732 и 972: \[ S_5 = 27 \cdot \frac{244}{324} = \frac{27 \cdot 244}{324} = \frac{6596}{324} \approx 20.33 \]

Таким образом, сумма первых 5 членов геометрической прогрессии равна примерно 20.33.