Найдите производные следующих функций: При условии 259. 1) f(x)=; вычислите f'(n/3); 2) y=x2 +sinx; 3) y= sin x =xsin x. (arcsinu) 260, 1) y=sin3x; 2) f(x)=sin(4x-1); 3) s=sint"; 4) f(0)=sin(0/2); вычнелите f(x/2). 261. 1) y=sin' x; 2) f=sin' 5w2; 3) y=l/sin x; 4) y=1/sin3x. 262. 1) f(r)=/sint; 2) y=sin2x; 3) y=1//sin3x. -sinx вычислите f'(m/4); 2) f(x) cosx+1 263, 1) Л(*)=1+00x (/4) 2) ()x-1 (arecosu) <1 числите f(n 3); 3) y=2sinx-cosx+3; 4) f(x)-2sinx-2cosx; вычислите f (л/6). 4) 264. I) f(r)=sinrcosr; 2) f(x)=sinx(1-cosx); 3) y=xcos.x; f(x)=co8x(1+sinx). (arcigu) 1+ 265, 1) y=cosx'; 2) y=cos(1/x2); 3) y=cos*x; 4) y=1/cos2x; 5) y=1/cos2x. 266. 1) y=cos2x; 2) y-1/cosx. (arecetgu)" 1+ 172

Давайте разберем задачу с нахождением производных нескольких функций шаг за шагом. ### 1. Нахождение производной функции Для нахождения производной функции мы будем использовать основные правила дифференцирования, включая правило суммы, произведения, частного и цепное правило. ### Пример функций: - **Сначала решим функции из задания:** #### 1) \( f(x) = \sin x \) - Производная \( f'(x) \) равна: \[ f'(x) = \cos x \] #### 2) \( y = x^2 + \sin x \) - Применяем правило суммы: \[ y' = (x^2)' + (\sin x)' = 2x + \cos x \] #### 3) \( y = \sin x \cdot x \) - Применяем правило произведения: \[ y' = (\sin x)' \cdot x + \sin x \cdot (x)' = \cos x \cdot x + \sin x \] Или более аккуратно: \[ y' = x \cos x + \sin x \] ### Переходим ко второй части задачи: #### 4) \( y = \sin(3x) \) - Применяем цепное правило: \[ y' = 3 \cos(3x) \] #### 5) \( f(x) = \sin(4x - 1) \) - Опять используем цепное правило: \[ f'(x) = \cos(4x - 1) \cdot (4) = 4 \cos(4x - 1) \] #### 6) \( s = \sin t^2 \) - Применяем цепное правило: \[ s' = \cos(t^2) \cdot (2t) \] ### 7) \( f(0) = \sin(0/2) \) - Найдём значение: \[ f(0) = \sin(0) = 0 \] #### Теперь, для нахождения производной \( f(x/2) \): - Здесь подставляем \( x/2 \): \[ f'(x/2) = \frac{\cos(2(x/2))}{2} = \frac{\cos x}{2} \] ### 8) \( y = \frac{1}{\sin x} \) - Используя правило частного, получаем: \[ y' = -\frac{\cos x}{\sin^2 x} \] ### 9) \( y = \cos^2 x \) Используем цепное правило: \[ y' = 2 \cos x (-\sin x) = -2 \cos x \sin x \] ### Заключение: Повторите аналогичные шаги для остальных функций, используя правила дифференцирования. В каждом случае обращайте внимание на применение правил и их сочетание, особенно при работе с произведениями и частными. Если вам нужна дополнительная помощь с какой-либо конкретной функцией или разъяснение какого-либо шага, пожалуйста, дайте знать!