285. Сумма двух чисел равна 15, а их произведение равно 54. Найдите эти числа. 286. Одно натуральное число на 5 больше другого, а их произведение равно 66. Найдите эти числа. 287.…

Решим каждую из задач по отдельности:

Задача 285

Сумма двух чисел \(x + y = 15\), произведение \(xy = 54\).

Подставим \(y = 15 - x\) в уравнение о произведении:

\[ x(15 - x) = 54 \]

Решим квадратное уравнение:

\[ 15x - x^2 = 54 \implies x^2 - 15x + 54 = 0 \]

Используя формулу решения квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{15 \pm \sqrt{15^2 - 4 \cdot 1 \cdot 54}}{2 \cdot 1} = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 216}}{2} = \frac{15 \pm 3}{2} \]

Получаем два значения для \(x\): \[ x_1 = 9, \quad x_2 = 6 \] Тогда: \[ y_1 = 6, \quad y_2 = 9 \] Числа: 6 и 9.

Задача 286

Один натуральный число \(x\) на 5 больше другого \(y\): \[ x = y + 5 \] Произведение равно 66: \[ xy = 66 \]

Подставляем уравнение для \(x\):

\[ (y + 5)y = 66 \implies y^2 + 5y - 66 = 0 \]

Находим корни:

\[ y = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 + 4 \cdot 66}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 264}}{2} = \frac{-5 \pm 17}{2} \] Получаем: \[ y_1 = 6, \quad y_2 = -11 \] Таким образом, \(y = 6, x = 11\). Числа: 6 и 11.

Задача 287

Один натуральный число \(x\) на 8 больше другого \(y\): \[ x = y + 8 \] Произведение равно 48: \[ xy = 48 \]

Подставляем выражение для \(x\):

\[ (y + 8)y = 48 \implies y^2 + 8y - 48 = 0 \]

Находим корни:

\[ y = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 + 4 \cdot 48}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 192}}{2} = \frac{-8 \pm 16}{2} \] Мы получаем: \[ y_1 = 4, \quad y_2 = -12 \] Таким образом, \(y = 4, x = 12\). Числа: 4 и 12.

Задача 288

Диагональ \(d = 20\) и периметр \(P = 56\):

Пусть стороны прямоугольника \(a\) и \(b\). Тогда:

\[ 2a + 2b = 56 \implies a + b = 28 \]

По теореме Пифагора: \[ a^2 + b^2 = 20^2 = 400 \]

Решим систему:

Сначала найдем \(b\):

\[ b = 28 - a \]

Подставим в уравнение:

\[ a^2 + (28 - a)^2 = 400 \] \[ a^2 + 784 - 56a + a^2 = 400 \] \[ 2a^2 - 56a + 384 = 0 \implies a^2 - 28a + 192 = 0 \]

Находим корни:

\[ a = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 768}}{2} = \frac{28 \pm 4}{2} \] Получаем: \[ a_1 = 16, \quad a_2 = 12 \] Стороны: 16 и 12.

Задача 289

Диагональ \(d = 13\), периметр \(P = 34\):

Пусть стороны \(a\) и \(b\): \[ a + b = 17 \]

По теореме Пифагора: \[ a^2 + b^2 = 13^2 = 169 \]

Решаем систему:

\[ b = 17 - a \]

Подставляем:

\[ a^2 + (17 - a)^2 = 169 \implies a^2 + 289 - 34a + a^2 = 169 \]

Упрощаем:

\[ 2a^2 - 34a + 120 = 0 \implies a^2 - 17a + 60 = 0 \]

Находим корни:

\[ a = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 240}}{2} = \frac{17 \pm 7}{2} \] Получаем: \[ a_1 = 12, \quad a_2 = 5 \] Стороны: 12 и 5.

Задача 290

Площадь \(S = 48\) и периметр \(P = 28\):

\[ ab = 48 \] \[ 2a + 2b = 28 \implies a + b = 14 \]

Решаем систему:

\[ b = 14 - a \]

Подставляем:

\[ a(14 - a) = 48 \implies 14a - a^2 = 48 \] \[ a^2 - 14a + 48 = 0 \]

Находим корни:

\[ a = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 192}}{2} = \frac{14 \pm 2}{2} \] Получаем: \[ a_1 = 8, \quad a_2 = 6 \] Стороны: 8 и 6.

Задача 291

Периметр \(P = 34\) и площадь \(S = 60\):

\[ 2a + 2b = 34 \implies a + b = 17 \] \[ ab = 60 \]

Решаем систему:

\[ b = 17 - a \]

Подставляем:

\[ a(17 - a) = 60 \implies 17a - a^2 = 60 \] \[ a^2 - 17a + 60 = 0 \]

Находим корни:

\[ a = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 240}}{2} = \frac{17 \pm 7}{2} \] Получаем: \[ a_1 = 12, \quad a_2 = 5 \] Стороны: 12 и 5.

Задача 292

Один катет \(x\) на 2 больше другого \(y\): \[ x = y + 2,\quad a^2 + b^2 = 10^2 = 100 \]

Подставляем:

\[ (y + 2)^2 + y^2 = 100 \] \[ y^2 + 4y + 4 + y^2 = 100 \] \[ 2y^2 + 4y - 96 = 0 \implies y^2 + 2y - 48 = 0 \]

Находим корни:

\[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 192}}{2} = \frac{-2 \pm 14}{2} \] Получаем: \[ y_1 = 6, \quad y_2 = -8 \] Таким образом, \(y = 6, x = 8\). Катеты: 6 и 8.

Задача 293

Один катет \(x\) на 7 меньше другого \(y\): \[ x = y - 7,\quad a^2 + b^2 = 13^2 = 169 \]

Подставляем:

\[ (y - 7)^2 + y^2 = 169 \] \[ (y^2 - 14y + 49) + y^2 = 169 \] \[ 2y^2 - 14y - 120 = 0 \implies y^2 - 7y - 60 = 0 \]

Находим корни:

\[ y = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 240}}{2} = \frac{7 \pm 17}{2} \] Получаем: \[ y_1 = 12, \quad y_2 = -5 \] Таким образом, \(y = 12, x = 5\). Катеты: 5 и 12.

Задача 294

Периметр \(P = 62\) и гипотенуза \(c = 25\): \[ a + b + 25 = 62 \implies a + b = 37 \] \[ a^2 + b^2 = 25^2 = 625 \]

Решаем систему:

\[ b = 37 - a \]

Подставляем:

\[ a^2 + (37 - a)^2 = 625 \] \[ a^2 + (1369 - 74a + a^2) = 625 \] \[ 2a^2 - 74a + 744 = 0 \implies a^2 - 37a + 372 = 0 \]

Находим корни:

\[ a = \frac{37 \pm \sqrt{1369 - 1488}}{2} \rightarrow \text{(дискриминант отрицательный, решений нет)} \]

Задача 295

Периметр \(P = 60\) и гипотенуза \(c = 26\): \[ a + b + 26 = 60 \implies a + b = 34 \] \[ a^2 + b^2 = 26^2 = 676 \]

Решаем систему:

\[ b = 34 - a \]

Подставляем:

\[ a^2 + (34 - a)^2 = 676 \] \[ a^2 + (1156 - 68a + a^2) = 676 \] \[ 2a^2 - 68a + 480 = 0 \implies a^2 - 34a + 240 = 0 \]

Находим корни:

\[ a = \frac{34 \pm \sqrt{1156 - 960}}{2} = \frac{34 \pm 16}{2} \] Получаем: \[ a_1 = 25, \quad a_2 = 9 \] Стороны: 25 и 9.

В этом случае площадь треугольника: \[ S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 9 = 112.5 \]

Таким образом, ответ на запросы:

• Задача 285: 6 и 9
• Задача 286: 6 и 11
• Задача 287: 4 и 12
• Задача 288: 12 и 16
• Задача 289: 12 и 5
• Задача 290: 6 и 8
• Задача 291: 12 и 5
• Задача 292: 6 и 8
• Задача 293: 5 и 12
• Задача 294: нет решения
• Задача 295: 25 и 9, площадь 112.5.