Решим каждую из задач по отдельности:
Задача 285
Сумма двух чисел (x + y = 15), произведение (xy = 54).
Подставим (y = 15 - x) в уравнение о произведении:
[
x(15 - x) = 54
]
Решим квадратное уравнение:
[
15x - x^2 = 54 \implies x^2 - 15x + 54 = 0
]
Используя формулу решения квадратного уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{15 \pm \sqrt{15^2 - 4 \cdot 1 \cdot 54}}{2 \cdot 1} = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 216}}{2} = \frac{15 \pm 3}{2}
]
Получаем два значения для (x):
[
x_1 = 9, \quad x_2 = 6
]
Тогда:
[
y_1 = 6, \quad y_2 = 9
]
Числа: 6 и 9.
Задача 286
Один натуральный число (x) на 5 больше другого (y):
[
x = y + 5
]
Произведение равно 66:
[
xy = 66
]
Подставляем уравнение для (x):
[
(y + 5)y = 66 \implies y^2 + 5y - 66 = 0
]
Находим корни:
[
y = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 + 4 \cdot 66}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 264}}{2} = \frac{-5 \pm 17}{2}
]
Получаем:
[
y_1 = 6, \quad y_2 = -11
]
Таким образом, (y = 6, x = 11). Числа: 6 и 11.
Задача 287
Один натуральный число (x) на 8 больше другого (y):
[
x = y + 8
]
Произведение равно 48:
[
xy = 48
]
Подставляем выражение для (x):
[
(y + 8)y = 48 \implies y^2 + 8y - 48 = 0
]
Находим корни:
[
y = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 + 4 \cdot 48}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 192}}{2} = \frac{-8 \pm 16}{2}
]
Мы получаем:
[
y_1 = 4, \quad y_2 = -12
]
Таким образом, (y = 4, x = 12). Числа: 4 и 12.
Задача 288
Диагональ (d = 20) и периметр (P = 56):
Пусть стороны прямоугольника (a) и (b). Тогда:
[
2a + 2b = 56 \implies a + b = 28
]
По теореме Пифагора:
[
a^2 + b^2 = 20^2 = 400
]
Решим систему:
Сначала найдем (b):
[
b = 28 - a
]
Подставим в уравнение:
[
a^2 + (28 - a)^2 = 400
]
[
a^2 + 784 - 56a + a^2 = 400
]
[
2a^2 - 56a + 384 = 0 \implies a^2 - 28a + 192 = 0
]
Находим корни:
[
a = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 768}}{2} = \frac{28 \pm 4}{2}
]
Получаем:
[
a_1 = 16, \quad a_2 = 12
]
Стороны: 16 и 12.
Задача 289
Диагональ (d = 13), периметр (P = 34):
Пусть стороны (a) и (b):
[
a + b = 17
]
По теореме Пифагора:
[
a^2 + b^2 = 13^2 = 169
]
Решаем систему:
[
b = 17 - a
]
Подставляем:
[
a^2 + (17 - a)^2 = 169 \implies a^2 + 289 - 34a + a^2 = 169
]
Упрощаем:
[
2a^2 - 34a + 120 = 0 \implies a^2 - 17a + 60 = 0
]
Находим корни:
[
a = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 240}}{2} = \frac{17 \pm 7}{2}
]
Получаем:
[
a_1 = 12, \quad a_2 = 5
]
Стороны: 12 и 5.
Задача 290
Площадь (S = 48) и периметр (P = 28):
[
ab = 48
]
[
2a + 2b = 28 \implies a + b = 14
]
Решаем систему:
[
b = 14 - a
]
Подставляем:
[
a(14 - a) = 48 \implies 14a - a^2 = 48
]
[
a^2 - 14a + 48 = 0
]
Находим корни:
[
a = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 192}}{2} = \frac{14 \pm 2}{2}
]
Получаем:
[
a_1 = 8, \quad a_2 = 6
]
Стороны: 8 и 6.
Задача 291
Периметр (P = 34) и площадь (S = 60):
[
2a + 2b = 34 \implies a + b = 17
]
[
ab = 60
]
Решаем систему:
[
b = 17 - a
]
Подставляем:
[
a(17 - a) = 60 \implies 17a - a^2 = 60
]
[
a^2 - 17a + 60 = 0
]
Находим корни:
[
a = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 240}}{2} = \frac{17 \pm 7}{2}
]
Получаем:
[
a_1 = 12, \quad a_2 = 5
]
Стороны: 12 и 5.
Задача 292
Один катет (x) на 2 больше другого (y):
[
x = y + 2,\quad a^2 + b^2 = 10^2 = 100
]
Подставляем:
[
(y + 2)^2 + y^2 = 100
]
[
y^2 + 4y + 4 + y^2 = 100
]
[
2y^2 + 4y - 96 = 0 \implies y^2 + 2y - 48 = 0
]
Находим корни:
[
y = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 192}}{2} = \frac{-2 \pm 14}{2}
]
Получаем:
[
y_1 = 6, \quad y_2 = -8
]
Таким образом, (y = 6, x = 8). Катеты: 6 и 8.
Задача 293
Один катет (x) на 7 меньше другого (y):
[
x = y - 7,\quad a^2 + b^2 = 13^2 = 169
]
Подставляем:
[
(y - 7)^2 + y^2 = 169
]
[
(y^2 - 14y + 49) + y^2 = 169
]
[
2y^2 - 14y - 120 = 0 \implies y^2 - 7y - 60 = 0
]
Находим корни:
[
y = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 240}}{2} = \frac{7 \pm 17}{2}
]
Получаем:
[
y_1 = 12, \quad y_2 = -5
]
Таким образом, (y = 12, x = 5). Катеты: 5 и 12.
Задача 294
Периметр (P = 62) и гипотенуза (c = 25):
[
a + b + 25 = 62 \implies a + b = 37
]
[
a^2 + b^2 = 25^2 = 625
]
Решаем систему:
[
b = 37 - a
]
Подставляем:
[
a^2 + (37 - a)^2 = 625
]
[
a^2 + (1369 - 74a + a^2) = 625
]
[
2a^2 - 74a + 744 = 0 \implies a^2 - 37a + 372 = 0
]
Находим корни:
[
a = \frac{37 \pm \sqrt{1369 - 1488}}{2} \rightarrow \text{(дискриминант отрицательный, решений нет)}
]
Задача 295
Периметр (P = 60) и гипотенуза (c = 26):
[
a + b + 26 = 60 \implies a + b = 34
]
[
a^2 + b^2 = 26^2 = 676
]
Решаем систему:
[
b = 34 - a
]
Подставляем:
[
a^2 + (34 - a)^2 = 676
]
[
a^2 + (1156 - 68a + a^2) = 676
]
[
2a^2 - 68a + 480 = 0 \implies a^2 - 34a + 240 = 0
]
Находим корни:
[
a = \frac{34 \pm \sqrt{1156 - 960}}{2} = \frac{34 \pm 16}{2}
]
Получаем:
[
a_1 = 25, \quad a_2 = 9
]
Стороны: 25 и 9.
В этом случае площадь треугольника:
[
S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 9 = 112.5
]
Таким образом, ответ на запросы:
- Задача 285: 6 и 9
- Задача 286: 6 и 11
- Задача 287: 4 и 12
- Задача 288: 12 и 16
- Задача 289: 12 и 5
- Задача 290: 6 и 8
- Задача 291: 12 и 5
- Задача 292: 6 и 8
- Задача 293: 5 и 12
- Задача 294: нет решения
- Задача 295: 25 и 9, площадь 112.5.
