Реши 66 номер

Давайте подробно разберем задачу №66.

Задача:

Нужно доказать, что среди любых трёх последовательных натуральных чисел одно делится на 3.

Решение:

Для начала обозначим три последовательных натуральных числа. Пусть это будут \( n \), \( n+1 \), \( n+2 \).

1. Рассмотрим остатки при делении на 3:

   Любое натуральное число \( n \) при делении на 3 может давать один из трех остатков: 0, 1 или 2. Это означает, что:

   • Если \( n \equiv 0 \pmod{3} \), то \( n \) делится на 3.
   • Если \( n \equiv 1 \pmod{3} \), то \( n+1 \equiv 2 \pmod{3} \) и \( n+2 \equiv 0 \pmod{3} \).
   • Если \( n \equiv 2 \pmod{3} \), то \( n+1 \equiv 0 \pmod{3} \).

2. Проверка для каждого случая:

   • Случай 1: \( n \equiv 0 \pmod{3} \)

     • Здесь \((n \equiv 0)\). Значит, \( n \) делится на 3.

   • Случай 2: \( n \equiv 1 \pmod{3} \)

     • Тогда \( n+2 \equiv 0 \pmod{3} \). Значит, \( n+2 \) делится на 3.

   • Случай 3: \( n \equiv 2 \pmod{3} \)

     • Тогда \( n+1 \equiv 0 \pmod{3} \). Значит, \( n+1 \) делится на 3.

Во всех трех возможных случаях одно из чисел \( n \), \( n+1 \) или \( n+2 \) делится на 3.

Заключение:

Таким образом, мы доказали, что среди любых трёх последовательных натуральных чисел всегда найдётся хотя бы одно, которое делится на 3.