Найдите все значения a a , при которых уравнение x 2 − 4 a x + 8 a − 6 = 0 x 2 −4ax+8a−6=0 имеет два различных корня.

Чтобы найти значения \( a \), при которых уравнение \( x^2 - 4ax + 8a - 6 = 0 \) имеет два различных корня, необходимо воспользоваться условием для дискриминанта квадратного уравнения.

Формат нашего уравнения: \[ Ax^2 + Bx + C = 0 \] где:

• \( A = 1 \)
• \( B = -4a \)
• \( C = 8a - 6 \)

Шаг 1: Вычисление дискриминанта

Дискриминант \( D \) квадратного уравнения определяется по формуле: \[ D = B^2 - 4AC \] Подставим значения \( A \), \( B \) и \( C \): \[ D = (-4a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (8a - 6) \] Посчитаем дискриминант: \[ D = 16a^2 - 4(8a - 6) \] Упростим выражение: \[ D = 16a^2 - 32a + 24 \]

Шаг 2: Условие для двух различных корней

Для того чтобы у уравнения было два различных корня, дискриминант должен быть положительным: \[ D > 0 \] Таким образом, мы решаем неравенство: \[ 16a^2 - 32a + 24 > 0 \]

Шаг 3: Приведем неравенство к стандартной форме

Чтобы упростить неравенство, можно поделить все его части на 8: \[ 2a^2 - 4a + 3 > 0 \]

Шаг 4: Определим корни квадратного уравнения

Для нахождения корней уравнения \( 2a^2 - 4a + 3 = 0 \) используем дискриминант: \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 16 - 24 = -8 \] Так как дискриминант отрицателен, у уравнения нет действительных корней, и, следовательно, оно не меняет знак.

Шаг 5: Определим знак квадратного трёхчлена

Коэффициент перед \( a^2 \) положителен (2 > 0), следовательно, \( 2a^2 - 4a + 3 > 0 \) для всех \( a \).

Вывод

Таким образом, уравнение \( x^2 - 4ax + 8a - 6 = 0 \) имеет два различных корня для всех значений \( a \).