Чтобы найти значения ( a ), при которых уравнение ( x^2 - 4ax + 8a - 6 = 0 ) имеет два различных корня, необходимо воспользоваться условием для дискриминанта квадратного уравнения.
Формат нашего уравнения:
[
Ax^2 + Bx + C = 0
]
где:
- ( A = 1 )
- ( B = -4a )
- ( C = 8a - 6 )
Шаг 1: Вычисление дискриминанта
Дискриминант ( D ) квадратного уравнения определяется по формуле:
[
D = B^2 - 4AC
]
Подставим значения ( A ), ( B ) и ( C ):
[
D = (-4a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (8a - 6)
]
Посчитаем дискриминант:
[
D = 16a^2 - 4(8a - 6)
]
Упростим выражение:
[
D = 16a^2 - 32a + 24
]
Шаг 2: Условие для двух различных корней
Для того чтобы у уравнения было два различных корня, дискриминант должен быть положительным:
[
D > 0
]
Таким образом, мы решаем неравенство:
[
16a^2 - 32a + 24 > 0
]
Шаг 3: Приведем неравенство к стандартной форме
Чтобы упростить неравенство, можно поделить все его части на 8:
[
2a^2 - 4a + 3 > 0
]
Шаг 4: Определим корни квадратного уравнения
Для нахождения корней уравнения ( 2a^2 - 4a + 3 = 0 ) используем дискриминант:
[
D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 16 - 24 = -8
]
Так как дискриминант отрицателен, у уравнения нет действительных корней, и, следовательно, оно не меняет знак.
Шаг 5: Определим знак квадратного трёхчлена
Коэффициент перед ( a^2 ) положителен (2 > 0), следовательно, ( 2a^2 - 4a + 3 > 0 ) для всех ( a ).
Вывод
Таким образом, уравнение ( x^2 - 4ax + 8a - 6 = 0 ) имеет два различных корня для всех значений ( a ).
