6х+9/х-8 <0

Давайте разберём неравенство \( \frac{6x + 9}{x - 8} < 0 \) шаг за шагом.

1. Определим область определения.
   Чтобы избежать деления на ноль, мы должны учесть, что знаменатель не должен равняться нулю. Поэтому мы решаем: \[ x - 8 \neq 0 \implies x \neq 8 \] Таким образом, область определения: \( x \in \mathbb{R}, \, x \neq 8 \).

2. Определим точки, в которых дробь равна нулю.
   Для этого надо решить уравнение: \[ 6x + 9 = 0 \] \[ 6x = -9 \implies x = -\frac{9}{6} = -\frac{3}{2} \] Эта точка разделяет область на интервалы.

3. Построим числовую прямую и выделим интервалы.
   Мы имеем две важные точки: \( -\frac{3}{2} \) и \( 8 \). Теперь определим интервалы:

   • \( (-\infty, -\frac{3}{2}) \)
   • \( (-\frac{3}{2}, 8) \)
   • \( (8, +\infty) \)

4. Определим знак дроби на каждом интервале.
   Мы будем подставлять тестовые значения из каждого интервала в функцию \( \frac{6x + 9}{x - 8} \).

   • Интервал \( (-\infty, -\frac{3}{2}) \): выберем \( x = -2 \) \[ \frac{6(-2) + 9}{-2 - 8} = \frac{-12 + 9}{-10} = \frac{-3}{-10} = \frac{3}{10} > 0 \]

   • Интервал \( (-\frac{3}{2}, 8) \): выберем \( x = 0 \) \[ \frac{6(0) + 9}{0 - 8} = \frac{9}{-8} < 0 \]

   • Интервал \( (8, +\infty) \): выберем \( x = 9 \) \[ \frac{6(9) + 9}{9 - 8} = \frac{54 + 9}{1} = 63 > 0 \]

5. Соберём информацию о знаке дроби.
   Теперь у нас есть результаты:

   • \( (-\infty, -\frac{3}{2}) \): \( > 0 \)
   • \( (-\frac{3}{2}, 8) \): \( < 0 \)
   • \( (8, +\infty) \): \( > 0 \)

6. Итак, решаем неравенство \( < 0 \):
   Мы ищем интервал, где дробь меньше нуля. Это происходит на интервале: \[ (-\frac{3}{2}, 8) \] Где важно помнить, что \( x \neq 8 \).

7. Запишем окончательный ответ:
   Решение неравенства: \[ x \in \left(-\frac{3}{2}, 8\right) \]

Таким образом, решением нашего неравенства является интервал \( (-\frac{3}{2}, 8) \).