С3. Шарик массой 10 г совершает гармонические колебания с амплитудой А = 0.2 м и периодом = 4 с. В момент to = 0 х = А. Найти кинетическую и потенциальную энергии в момент времени…

Для решения задачи о гармонических колебаниях, давайте вспомним основные понятия и формулы, которые нам понадобятся.

Дано:

• Масса шарика (m) = 10 г = 0.01 кг (переведем в килограммы, так как вся энергия будет рассчитываться в системе СИ)
• Амплитуда (A) = 0.2 м
• Период (T) = 4 с
• Начальное положение (t₀ = 0) = A = 0.2 м

Определим параметры:

1. Частота (ω): Частота угловых колебаний определяется как: \[ \omega = \frac{2\pi}{T} \] Подставляем значения: \[ \omega = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \text{ рад/с} \]

2. Находим координаты в момент времени t = 1 с: В уравнении гармонического движения: \[ x(t) = A \cos(\omega t) \] Подставляем t = 1 с: \[ x(1) = 0.2 \cos\left(\frac{\pi}{2} \cdot 1\right) = 0.2 \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0.2 \cdot 0 = 0 \text{ м} \]

3. Скорость (v) в момент времени t = 1 с: Скорость определяется как производная положения по времени: \[ v(t) = -A \omega \sin(\omega t) \] Тогда для t = 1 с: \[ v(1) = -0.2 \cdot \frac{\pi}{2} \sin\left(\frac{\pi}{2} \cdot 1\right) = -0.2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot 1 = -0.1\pi \text{ м/с} \]

4. Кинетическая энергия (E_k): Кинетическая энергия вычисляется по формуле: \[ E_k = \frac{1}{2} m v^2 \] Подставляем массу и скорость: \[ E_k = \frac{1}{2} \cdot 0.01 \cdot (-0.1\pi)^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.01 \cdot 0.01\pi^2 = 0.00005\pi^2 \text{ Дж} \]

5. Потенциальная энергия (E_p): Потенциальная энергия в гармоническом осцилляторе определяется как: \[ E_p = \frac{1}{2} k x^2 \] где k — жесткость пружины, определяемая как \( k = \frac{m\omega^2}{A} \). Чтобы найти потенциальную энергию, нам сначала нужно определить k: \[ k = m \omega^2 = 0.01 \left(\frac{\pi}{2}\right)^2 = 0.01 \cdot \frac{\pi^2}{4} = 0.0025\pi^2 \]

   Теперь рассчитаем потенциальную энергию: \[ E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.0025\pi^2 \cdot 0^2 = 0 \text{ Дж} \]

Итак, наши результаты:

• Кинетическая энергия (E_k) в момент времени t = 1 с: \[ E_k = 0.00005\pi^2 \approx 0.00005 \cdot 9.87 \approx 0.0004935 \text{ Дж} \]

• Потенциальная энергия (E_p) в момент времени t = 1 с: \[ E_p = 0 \text{ Дж} \]

Теперь у нас есть кинетическая и потенциальная энергия шарика в момент времени t = 1 с.