Давайте разберём задачу.
У нас имеется геометрическая прогрессия, для неё заданы:
- Первый член прогрессии ( b_1 = \frac{1}{2} )
- Знаменатель прогрессии ( q = -4 )
- Количество членов прогрессии ( n = 5 )
Цель задачи: Найти сумму первых ( n ) членов геометрической прогрессии.
Формула суммы первых ( n ) членов геометрической прогрессии:
[
S_n = b_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}, \quad q \neq 1
]
Подставим известные значения:
- ( b_1 = \frac{1}{2} )
- ( q = -4 )
- ( n = 5 )
Подставляем их в формулу:
[
S_5 = \frac{1}{2} \frac{1 - (-4)^5}{1 - (-4)}
]
Теперь посчитаем значение ( (-4)^5 ):
[
(-4)^5 = -1024
]
Теперь подставим это значение:
[
S_5 = \frac{1}{2} \frac{1 - (-1024)}{1 + 4} = \frac{1}{2} \frac{1 + 1024}{5}
]
Упрощаем выражение:
[
S_5 = \frac{1}{2} \times \frac{1025}{5} = \frac{1}{2} \times 205 = \frac{205}{2}
]
Таким образом, сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна (\frac{205}{2}) или 102.5.
Надеюсь, это объяснение помогло понять решение задачи!
