Для того чтобы найти производную функции ( y = (x^2 - 1)(x^4 + 2) ), мы будем использовать правило произведения. Это правило гласит, что производная произведения двух функций ( u(x) ) и ( v(x) ) равна:
[
(y = u \cdot v) \implies y' = u' \cdot v + u \cdot v'
]
В нашем случае:
- ( u(x) = x^2 - 1 )
- ( v(x) = x^4 + 2 )
Теперь найдем производные ( u' ) и ( v' ).
Находим ( u' ):
[
u' = \frac{d}{dx}(x^2 - 1) = 2x
]
Находим ( v' ):
[
v' = \frac{d}{dx}(x^4 + 2) = 4x^3
]
Теперь подставляем найденные производные в формулу для производной произведения:
[
y' = u' \cdot v + u \cdot v'
]
Подставляем ( u, v, u' ) и ( v' ):
[
y' = (2x)(x^4 + 2) + (x^2 - 1)(4x^3)
]
Теперь произведем умножение в каждом из членов:
Первый член:
[
(2x)(x^4 + 2) = 2x^5 + 4x
]
Второй член:
[
(x^2 - 1)(4x^3) = 4x^3 \cdot x^2 - 4x^3 = 4x^5 - 4x^3
]
Теперь можем сложить оба выражения:
[
y' = (2x^5 + 4x) + (4x^5 - 4x^3)
]
Соберем подобные слагаемые:
[
y' = 2x^5 + 4x^5 + 4x - 4x^3 = 6x^5 - 4x^3 + 4x
]
Таким образом, производная функции ( y ) равна:
[
y' = 6x^5 - 4x^3 + 4x
]
Итог
Производная функции ( y = (x^2 - 1)(x^4 + 2) ) составляет:
[
y' = 6x^5 - 4x^3 + 4x
]
Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме, не стесняйтесь их задавать!
