Производная: y = ( x²– 1) ( x⁴+2)
Для того чтобы найти производную функции \( y = (x^2 - 1)(x^4 + 2) \), мы будем использовать правило произведения. Это правило гласит, что производная произведения двух функций \( u(x) \) и \( v(x) \) равна:
\[ (y = u \cdot v) \implies y' = u' \cdot v + u \cdot v' \]
В нашем случае:
- \( u(x) = x^2 - 1 \)
- \( v(x) = x^4 + 2 \)
Теперь найдем производные \( u' \) и \( v' \).
Находим \( u' \): \[ u' = \frac{d}{dx}(x^2 - 1) = 2x \]
Находим \( v' \): \[ v' = \frac{d}{dx}(x^4 + 2) = 4x^3 \]
Теперь подставляем найденные производные в формулу для производной произведения:
\[ y' = u' \cdot v + u \cdot v' \]
Подставляем \( u, v, u' \) и \( v' \):
\[ y' = (2x)(x^4 + 2) + (x^2 - 1)(4x^3) \]
Теперь произведем умножение в каждом из членов:
Первый член: \[ (2x)(x^4 + 2) = 2x^5 + 4x \]
Второй член: \[ (x^2 - 1)(4x^3) = 4x^3 \cdot x^2 - 4x^3 = 4x^5 - 4x^3 \]
Теперь можем сложить оба выражения:
\[ y' = (2x^5 + 4x) + (4x^5 - 4x^3) \]
Соберем подобные слагаемые:
\[ y' = 2x^5 + 4x^5 + 4x - 4x^3 = 6x^5 - 4x^3 + 4x \]
Таким образом, производная функции \( y \) равна:
\[ y' = 6x^5 - 4x^3 + 4x \]
Итог
Производная функции \( y = (x^2 - 1)(x^4 + 2) \) составляет:
\[ y' = 6x^5 - 4x^3 + 4x \]
Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме, не стесняйтесь их задавать!
