Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции ( y = -6x^7 ) на заданном отрезке ([0; 1]), нужно выполнить следующие шаги:
Шаг 1: Анализ функции
Функция ( y = -6x^7 ) — это многочлен, который определён на всей числовой оси. Однако мы будем анализировать её только на отрезке ([0; 1]).
Шаг 2: Найти производную
Для поиска экстремумов функции (наибольших и наименьших значений) сначала найдем её производную:
[
y' = \frac{d}{dx}(-6x^7) = -42x^6
]
Шаг 3: Найти критические точки
Критические точки функции находятся там, где производная равна нулю или не существует. В нашем случае, производная существует для всех ( x ). Установим производную равной нулю:
[
-42x^6 = 0
]
Это уравнение равно нулю, когда:
[
x^6 = 0 \implies x = 0
]
Шаг 4: Проверка значений на границах и в критических точках
На отрезке ([0; 1]) у нас есть две границы: ( x = 0 ) и ( x = 1 ), а также критическая точка ( x = 0 ).
Теперь нужно вычислить значения функции в этих точках:
( x = 0 ):
[
y(0) = -6(0)^7 = 0
]
( x = 1 ):
[
y(1) = -6(1)^7 = -6
]
Шаг 5: Сравнение значений
Теперь сравним значения функции в точках:
- ( y(0) = 0 )
- ( y(1) = -6 )
Шаг 6: Определение наибольшего и наименьшего значения
На отрезке ([0; 1]):
- Наибольшее значение: ( y(0) = 0 )
- Наименьшее значение: ( y(1) = -6 )
Ответ
- Наибольшее значение функции на отрезке ([0; 1]) равно ( 0 ).
- Наименьшее значение функции на этом же отрезке равно ( -6 ).
