Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном отрезке: б) у=-6x^7, [0;1] ;
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = -6x^7 \) на заданном отрезке \([0; 1]\), нужно выполнить следующие шаги:
Шаг 1: Анализ функции
Функция \( y = -6x^7 \) — это многочлен, который определён на всей числовой оси. Однако мы будем анализировать её только на отрезке \([0; 1]\).
Шаг 2: Найти производную
Для поиска экстремумов функции (наибольших и наименьших значений) сначала найдем её производную:
\[ y' = \frac{d}{dx}(-6x^7) = -42x^6 \]
Шаг 3: Найти критические точки
Критические точки функции находятся там, где производная равна нулю или не существует. В нашем случае, производная существует для всех \( x \). Установим производную равной нулю:
\[ -42x^6 = 0 \]
Это уравнение равно нулю, когда:
\[ x^6 = 0 \implies x = 0 \]
Шаг 4: Проверка значений на границах и в критических точках
На отрезке \([0; 1]\) у нас есть две границы: \( x = 0 \) и \( x = 1 \), а также критическая точка \( x = 0 \).
Теперь нужно вычислить значения функции в этих точках:
\( x = 0 \): \[ y(0) = -6(0)^7 = 0 \]
\( x = 1 \): \[ y(1) = -6(1)^7 = -6 \]
Шаг 5: Сравнение значений
Теперь сравним значения функции в точках:
- \( y(0) = 0 \)
- \( y(1) = -6 \)
Шаг 6: Определение наибольшего и наименьшего значения
На отрезке \([0; 1]\):
- Наибольшее значение: \( y(0) = 0 \)
- Наименьшее значение: \( y(1) = -6 \)
Ответ
- Наибольшее значение функции на отрезке \([0; 1]\) равно \( 0 \).
- Наименьшее значение функции на этом же отрезке равно \( -6 \).
