Сколько часов потребуется велосепедисту чтобы проехать 54 км, если за первый час он проехал 15 км, а за каждый последующий проезжал на 1 км меньше

Чтобы решить задачу, давайте разобьем её на этапы и поймем, как прорабатываются данные. Велосипедист проезжает разное расстояние в зависимости от времени, и нам нужно выяснить, сколько времени ему потребуется, чтобы проехать 54 км. 1. **Определение расстояний, проезжаемых в каждый час.** - В первый час велосипедист проезжает 15 км. - Во второй час он проехал на 1 км меньше, чем в первый, т.е. 14 км. - В третий час он проехал на 1 км меньше, чем во второй, т.е. 13 км. - Продолжая в том же духе, можно наблюдать, что в каждый следующий час он будет проезжать на 1 км меньше, чем в предыдущий. 2. **Составление общего уравнения для расстояния.** - Давайте запишем дистанцию, которую велосипедист проезжает за n часов. Это будет сумма первых n членов арифметической прогрессии: - Первый член \( a_1 = 15 \) - Второй член \( a_2 = 14 \) - Третий член \( a_3 = 13 \) - И так далее. Общее количество километров, проезжаемых за n часов, можно выразить как: \[ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n \] \( S_n = 15 + 14 + 13 + \ldots + (15 - (n - 1)) \) Мы можем использовать формулу для суммы первых n членов арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \] где \( a_n = 15 - (n - 1) = 16 - n \). Подставляя значения, мы получаем: \[ S_n = \frac{n}{2}(15 + (16 - n)) = \frac{n}{2}(31 - n) \] 3. **Решение уравнения.** Мы ищем значение n, при котором \( S_n = 54 \): \[ \frac{n}{2}(31 - n) = 54 \] Умножим обе стороны на 2: \[ n(31 - n) = 108 \] Перепишем уравнение: \[ n^2 - 31n + 108 = 0 \] 4. **Решение квадратного уравнения.** Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-31)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 108 = 961 - 432 = 529 \] Находим корни уравнения с помощью формулы: \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{31 \pm \sqrt{529}}{2} = \frac{31 \pm 23}{2} \] Получаем два корня: \[ n_1 = \frac{54}{2} = 27 \] \[ n_2 = \frac{8}{2} = 4 \] 5. **Подсчёт часов.** Корень n = 4 подходит (так как он положительный и не больше 15, а n = 27 лишний, так как невозможно столько проехать, начиная с 15 км/ч). Подводя итог, чтобы проехать 54 км, велосепедисту потребуется **4 часа**.