реши все примеры

Давайте решим каждую из систем уравнений.

Задача 39.7

а)

\[ \begin{cases} 40x + 3y = -10 \\ 20x - 7y = -5 \end{cases} \]

1. Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при \(x\) были равны: \[ \begin{cases} 40x + 3y = -10 \\ 40x - 14y = -10 \end{cases} \]

2. Вычтем из первого второе: \[ (40x + 3y) - (40x - 14y) = -10 + 10 \\ 17y = 0 \\ y = 0 \]

3. Подставим \(y = 0\) в первое уравнение: \[ 40x + 3(0) = -10 \\ 40x = -10 \\ x = -\frac{1}{4} \]

Ответ: \(x = -\frac{1}{4}, \, y = 0\).

б)

\[ \begin{cases} 5x + 2y = 1 \\ 15x + 3y = 3 \end{cases} \]

1. Умножим первое уравнение на 3: \[ \begin{cases} 15x + 6y = 3 \\ 15x + 3y = 3 \end{cases} \]

2. Вычтем второе из первого: \[ (15x + 6y) - (15x + 3y) = 3 - 3 \\ 3y = 0 \\ y = 0 \]

3. Подставим \(y = 0\) в первое уравнение: \[ 5x + 2(0) = 1 \\ 5x = 1 \\ x = \frac{1}{5} \]

Ответ: \(x = \frac{1}{5}, \, y = 0\).

Задача 39.8

а)

\[ \begin{cases} 3x + y = 46 \\ 4x - 3y = 12 \end{cases} \]

1. Выразим \(y\) из первого уравнения: \[ y = 46 - 3x \]

2. Подставим во второе уравнение: \[ 4x - 3(46 - 3x) = 12 \\ 4x - 138 + 9x = 12 \\ 13x = 150 \\ x = \frac{150}{13} \]

3. Подставим \(x\) в выражение для \(y\): \[ y = 46 - 3 \left(\frac{150}{13}\right) \\ y = \frac{13 \times 46 - 450}{13} \\ y = \frac{598 - 450}{13} \\ y = \frac{148}{13} \]

Ответ: \(x = \frac{150}{13}, \, y = \frac{148}{13}\).

б)

\[ \begin{cases} -3x + 4y = 24 \\ 5x + 3y = 40 \end{cases} \]

1. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 4, чтобы избавиться от \(y\): \[ \begin{cases} -9x + 12y = 72 \\ 20x + 12y = 160 \end{cases} \]

2. Вычтем из второго первое: \[ (20x + 12y) - (-9x + 12y) = 160 - 72 \\ 29x = 88 \\ x = \frac{88}{29} \]

3. Подставим \(x\) в первое уравнение для нахождения \(y\): \[ -3\left(\frac{88}{29}\right) + 4y = 24 \\ y = \frac{24 + \frac{264}{29}}{4} \\ y = \frac{696 + 264}{116} = \frac{960}{116} \]

Ответ: \(x = \frac{88}{29}, \, y = \frac{960}{116}\).

в)

\[ \begin{cases} 3x + 8y = 13 \\ -5x - 16y = -7 \end{cases} \]

1. Умножим первое уравнение на 2: \[ \begin{cases} 6x + 16y = 26 \\ -5x - 16y = -7 \end{cases} \]

2. Складываем: \[ 6x + (-5x) = 26 + (-7) \\ x = 19 \]

3. Подставим \(x = 19\) в первое уравнение: \[ 3(19) + 8y = 13 \\ 57 + 8y = 13 \\ 8y = -44 \\ y = -\frac{44}{8} = -\frac{11}{2} \]

Ответ: \(x = 19, \, y = -\frac{11}{2}\).

г)

\[ \begin{cases} 10x + 15y = -45 \\ 2x + 3y = 33 \end{cases} \]

1. Заметим, что второе уравнение — кратное первому, то есть решения будут совпадать при масштабировании: \[ \begin{cases} 10x + 15y = -45 \\ 10x + 15y = 165 \end{cases} \]

Противоречие, значит, нет решений (система несовместна).

Ответ: нет решений.