Дана функция у = f(x), где f(х) = х - 4. Найдите все значения х, при которых справедливо неравенство f(x*) • f(x + 5) >0.

Чтобы решить данное неравенство, рассмотрим функцию \( f(x) = x - 4 \).

Нам нужно найти все значения \( x \), для которых \( f(x^*) \cdot f(x + 5) > 0 \).

1. Анализ функции: \[ f(x) = x - 4 \]

   • Функция меняет знак на точке \( x = 4 \).

2. Проверка знаков:

   • \( f(x^*) = x^* - 4 \)
   • \( f(x + 5) = (x + 5) - 4 = x + 1 \)

3. Условие неравенства: \((x^* - 4) \cdot (x + 1) > 0\)

4. Найдем области, где произведение положительно:

   • Оба множителя должны быть положительными, или оба отрицательными.

5. Система неравенств:

   • \( x^* - 4 > 0 \) и \( x + 1 > 0 \) Или
   • \( x^* - 4 < 0 \) и \( x + 1 < 0 \)

6. Решение системы:

   • \( x^* > 4 \) и \( x > -1 \)

   Или

   • \( x^* < 4 \) и \( x < -1 \)

7. Отношение между \( x \) и \( x^* \): Поскольку мы ищем значения \( x \), для которых существует \( x^* \), мы должны рассмотреть случаи отдельно:

   • Если \( x^* > 4 \), то \( x > -1 \): Все \( x > 4 \) удовлетворяют этому, так как \( x^* \) может быть равно \( x \).

   • Если \( x^* < 4 \), то \( x < -1 \): Все \( x < -1 \) удовлетворяют этому, так как \( x^* \) может быть равно \( x \).

8. Ответ: Объединив оба случая, получаем:

   • \( x \in (-\infty, -1) \cup (4, \infty) \)

Таким образом, решениями неравенства являются \( x < -1 \) или \( x > 4 \).