Проведите исследование функции y=-x^3+27x+8 и постройте график

К исследованию функции \( y = -x^3 + 27x + 8 \) включим несколько шагов, включая нахождение производной, критических точек, точек пересечения с осями, исследование на экстремумы и построение графика. ### 1. Найдём производную функции Найдём первую производную, чтобы определить критические точки (где производная равна нулю): \[ y' = \frac{d}{dx}(-x^3 + 27x + 8) = -3x^2 + 27 \] ### 2. Найдём критические точки Для этого решим уравнение: \[ -3x^2 + 27 = 0 \] Упростим и разделим обе части на 3: \[ -x^2 + 9 = 0 \] \[ x^2 = 9 \] \[ x = \pm 3 \] Критические точки: \( x = -3 \) и \( x = 3 \). ### 3. Исследуем интервалы на возрастание и убывание Проверим знаки производной в интервалах: - \( x < -3 \): Подставив любое значение из этого интервала, например \( x = -4 \), получаем \( y'(-4) = -3(-4)^2 + 27 = -48 + 27 = -21 \). Это меньше нуля, следовательно, функция убывает. - \( -3 < x < 3 \): Подставив \( x = 0 \), получаем \( y'(0) = 27 \). Это больше нуля, функция возрастает. - \( x > 3 \): Подставив \( x = 4 \), получаем \( y'(4) = -3(4)^2 + 27 = -48 + 27 = -21 \). Убывает. ### 4. Экстремумы функции - В точке \( x = -3 \): производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, точка минимума. - В точке \( x = 3 \): производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, точка максимума. ### 5. Найдём точки пересечения с осями координат - Пересечение с осью \( y \) (где \( x = 0 \)): \[ y = -0^3 + 27 \cdot 0 + 8 = 8 \] Точка пересечения с осью \( y \): \( (0, 8) \). - Пересечение с осью \( x \) ищем, решая уравнение: \[ -x^3 + 27x + 8 = 0 \] Это уравнение кубическое, и его точное решение может потребовать численного метода или использования графического построения для приближённых значений. ### 6. Построение графика С учётом проведенного анализа график будет иметь: - Убывание от минус бесконечности до \( x = -3 \), - Минимум в точке \( x = -3 \), - Возрастание от \( x = -3 \) до \( x = 3 \), - Максимум в точке \( x = 3 \), - Убывание от \( x = 3 \) до плюс бесконечности. Сам график предполагает S-образную кривую с максимальной и минимальной точками, переходящую через ось \( y \) в точке (0,8).