Проведите исследование функции y=-x^3+27x+8 и постройте график

К исследованию функции \( y = -x^3 + 27x + 8 \) включим несколько шагов, включая нахождение производной, критических точек, точек пересечения с осями, исследование на экстремумы и построение графика.

1. Найдём производную функции

Найдём первую производную, чтобы определить критические точки (где производная равна нулю):

\[ y' = \frac{d}{dx}(-x^3 + 27x + 8) = -3x^2 + 27 \]

2. Найдём критические точки

Для этого решим уравнение:

\[ -3x^2 + 27 = 0 \]

Упростим и разделим обе части на 3:

\[ -x^2 + 9 = 0 \]

\[ x^2 = 9 \]

\[ x = \pm 3 \]

Критические точки: \( x = -3 \) и \( x = 3 \).

3. Исследуем интервалы на возрастание и убывание

Проверим знаки производной в интервалах:

• \( x < -3 \): Подставив любое значение из этого интервала, например \( x = -4 \), получаем \( y'(-4) = -3(-4)^2 + 27 = -48 + 27 = -21 \). Это меньше нуля, следовательно, функция убывает.
• \( -3 < x < 3 \): Подставив \( x = 0 \), получаем \( y'(0) = 27 \). Это больше нуля, функция возрастает.
• \( x > 3 \): Подставив \( x = 4 \), получаем \( y'(4) = -3(4)^2 + 27 = -48 + 27 = -21 \). Убывает.

4. Экстремумы функции

• В точке \( x = -3 \): производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, точка минимума.
• В точке \( x = 3 \): производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, точка максимума.

5. Найдём точки пересечения с осями координат

• Пересечение с осью \( y \) (где \( x = 0 \)):

\[ y = -0^3 + 27 \cdot 0 + 8 = 8 \]

Точка пересечения с осью \( y \): \( (0, 8) \).

• Пересечение с осью \( x \) ищем, решая уравнение:

\[ -x^3 + 27x + 8 = 0 \]

Это уравнение кубическое, и его точное решение может потребовать численного метода или использования графического построения для приближённых значений.

6. Построение графика

С учётом проведенного анализа график будет иметь:

• Убывание от минус бесконечности до \( x = -3 \),
• Минимум в точке \( x = -3 \),
• Возрастание от \( x = -3 \) до \( x = 3 \),
• Максимум в точке \( x = 3 \),
• Убывание от \( x = 3 \) до плюс бесконечности.

Сам график предполагает S-образную кривую с максимальной и минимальной точками, переходящую через ось \( y \) в точке (0,8).