Чтобы решить задачу, начнем с определения производительности каждого каменщика по отдельности и затем найдем, на сколько процентов увеличилась их производительность при совместной работе.
Шаг 1: Найдем производительность каждого каменщика
Первый каменщик: Он может сложить стену за 15 часов. Значит, его производительность:
[
P_1 = \frac{1}{15} \text{ стены за час}
]
Второй каменщик: Он может сложить стену за 10 часов. Его производительность:
[
P_2 = \frac{1}{10} \text{ стены за час}
]
Шаг 2: Найдем совместную производительность, когда они работают вместе
Когда оба каменщика работают вместе, они складывают стену за 4 часа. Таким образом, их совместная производительность:
[
P_{сумм} = \frac{1}{4} \text{ стены за час}
]
Шаг 3: Найдем сумму производительности при совместной работе
Сложим производительности обоих каменщиков:
[
P_1 + P_2 = \frac{1}{15} + \frac{1}{10}
]
Чтобы сложить эти дроби, найдем общий знаменатель. Общий знаменатель для 15 и 10 равен 30. Приведём дроби к общему знаменателю:
[
P_1 = \frac{2}{30} \quad \text{и} \quad P_2 = \frac{3}{30}
]
Сложим их:
[
P_1 + P_2 = \frac{2}{30} + \frac{3}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6} \text{ стены за час}
]
Шаг 4: Найдем прирост производительности при совместной работе
Так как при совместной работе их производительность равна ( \frac{1}{4} \text{ стены за час} ), сравним это со значением, которое мы получили:
[
P_{сумм} = \frac{1}{6} \text{ стены за час}
]
Теперь мы можем записать, что сумма производительности при совместной работе равна производительности, умноженной на некий коэффициент увеличения производительности ( k ):
[
P_{сумм} \cdot (1 + k) = \frac{1}{4}
]
Сначала найдём значение ( k ) для каждого каменщика. Мы знаем, что их исходная сумма производительности в одиночку была ( \frac{1}{6} ). Таким образом, получаем:
[
\frac{1}{6} \cdot (1 + k) = \frac{1}{4}
]
Шаг 5: Решим уравнение на ( k )
Перепишем уравнение:
[
1 + k = \frac{1/4}{1/6} = \frac{1}{4} \cdot \frac{6}{1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}
]
Теперь найдём ( k ):
[
k = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}
]
Шаг 6: Переведём в проценты
Чтобы перевести полученное значение ( k ) в проценты, умножим его на 100%:
[
k \times 100% = \frac{1}{2} \times 100% = 50%
]
Ответ
Таким образом, производительность труда каждого каменьщика увеличилась на 50% при совместной работе.
