Реши задачу по геометрии

На рисунке дан равнобедренный треугольник \(ABC\) с основанием \(AC\), точка \(O\) — середина отрезка \(AC\). Нужно найти градусные меры углов треугольника \(OBA\), если \(\angle FCB = 110^\circ\).

Шаг 1: Анализ треугольника

1. Равнобедренный треугольник \(ABC\):

   • В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
   • \(\angle BAC = \angle ACB\).

2. Точка \(O\) — середина \(AC\):

   • Поскольку \(O\) — середина, \(AO = OC\).

Шаг 2: Углы и свойства

1. Углы равнобедренного треугольника:

   • Известно: \(\angle FCB = 110^\circ\).
   • Рассмотрим \(\triangle BCF\). Так как \(CF\) — это продолжение \(AC\), то \(\angle ACB + \angle BCF = 180^\circ\).
   • Таким образом, \(\angle ACB = 70^\circ\).

2. Треугольник \(ABC\):

   • \(\angle BAC = \angle ACB = 70^\circ\).

3. Рассчитаем \(\angle ABC\):

   • Угол \(\angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle ACB = 180^\circ - 70^\circ - 70^\circ = 40^\circ\).

Шаг 3: Углы в треугольнике \(OBA\)

1. Ищем углы треугольника \(OBA\):

   • Поскольку \(O\) — середина \(AC\), и \(\triangle ABC\) — равнобедренный, треугольник \(OBA\) будет равнобедренным с углами \(\angle OBA = \angle OAB\).

2. Рассчитать угол \(\angle OBA\):

   • В треугольнике \(OBA\) один из углов равен \(\angle ABC = 40^\circ\).
   • Сумма углов в треугольнике \(OBA\) равна \(180^\circ\). Пусть углы при основании треугольника \(OBA\) равны \(x\): \[ 2x + 40^\circ = 180^\circ \] \[ 2x = 140^\circ \] \[ x = 70^\circ \]

Таким образом, углы треугольника \(OBA\) равны \(\angle OBA = \angle OAB = 70^\circ\), а \(\angle BOA = 40^\circ\).