Решим уравнение ( 2 \sin x + \sqrt{2} = 0 ) шаг за шагом.
Шаг 1: Изолируем синус
Начнем с того, чтобы изолировать ( \sin x ). Для этого перенесем ( \sqrt{2} ) на правую сторону уравнения:
[
2 \sin x = -\sqrt{2}
]
Теперь разделим обе стороны на 2:
[
\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}
]
Шаг 2: Находим угол
Теперь нужно определить, для каких углов ( x ) синус равен ( -\frac{\sqrt{2}}{2} ). Мы знаем, что синус принимает значение ( -\frac{\sqrt{2}}{2} ) в следующих квадрантах:
- Во втором квадранте (где синус положителен) и
- В четвертом квадранте (где синус отрицателен).
Для значения ( -\frac{\sqrt{2}}{2} ) углы будут:
- ( x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi ) (четвертый квадрант)
- ( x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi ) (второй квадрант)
где ( k ) — произвольное целое число, которое учитывает периодичность функции синуса.
Шаг 3: Запись решения
Таким образом, общее решение уравнения:
[
x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
]
[
x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
]
Заключение
Мы нашли значения ( x ) для данного уравнения, основываясь на свойствах функции синуса. Таким образом, у нас есть два набора углов, которые могут быть решением, которые повторяются через каждые ( 2\pi ) из-за периодичности синуса.
Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, обращайся!
