2*2

Для решения задачи найдем скалярное произведение векторов \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\).

Сначала, отметим данные:

• \(|\vec{m}| = 4\sqrt{2}\)
• \(|\vec{n}| = 3\)
• \(\angle m \, \vec{n} = 135^\circ\)

Формула для скалярного произведения двух векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) выглядит так:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \theta \]

где \(\theta\) — угол между векторами.

Так как у нас \(\vec{m} \cdot \vec{n}\), то в данном случае:

\[ \vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}| \cdot |\vec{n}| \cdot \cos 135^\circ \]

Теперь вычислим:

1. Найдем \(\cos 135^\circ\): \[ \cos 135^\circ = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]

2. Подставим значения в формулу: \[ \vec{m} \cdot \vec{n} = 4\sqrt{2} \cdot 3 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \]

3. Упростим выражение: \[ \vec{m} \cdot \vec{n} = 12\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 12 \cdot \left(-\frac{2}{2}\right) = 12 \cdot (-1) = -12 \]

Таким образом, скалярное произведение векторов \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) равно \(-12\).