Исследовать на монотонность функцию: 1. y = 2 - 5x; 2. y = x^3 +4; 3. y = x^3 +2x^2; 4. y = - 3x^3 - x; 5. y = x^0,5 +x^5; 6. y=- x^3 - x^0,5

Чтобы исследовать монотонность функции, необходимо найти производную функции и определить, где она положительна, отрицательна или равна нулю. Монотонность функции описывается как монотонно возрастающая (если производная положительна) или монотонно убывающая (если производная отрицательна).

1. y = 2 - 5x

Шаг 1: Найдем производную функции.

\( y' = \frac{d}{dx}(2 - 5x) = -5 \)

Шаг 2: Анализ производной.

Производная \( y' = -5 \) — постоянная и отрицательная для всех \( x \).
Это значит, что функция монотонно убывает на всей области определения.

2. y = x^3 + 4

Шаг 1: Найдем производную функции.

\( y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 4) = 3x^2 \)

Шаг 2: Анализ производной.

Производная \( y' = 3x^2 \) — всегда неотрицательна, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным:

• \( y' = 0 \) только в точке \( x = 0 \) (локальный минимум).
• Для \( x < 0 \) и \( x > 0 \) производная положительна.

Таким образом, функция:

• Убывает на интервале \( (-\infty, 0) \).
• Убывает на интервале \( (0, +\infty) \).

3. y = x^3 + 2x^2

Шаг 1: Найдем производную функции.

\( y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 2x^2) = 3x^2 + 4x \)

Шаг 2: Найдем точки, где производная равна нулю.

\( 3x^2 + 4x = 0 \)
\( x(3x + 4) = 0 \)

Решения:

• \( x = 0 \)
• \( 3x + 4 = 0 \Rightarrow x = -\frac{4}{3} \)

Шаг 3: Исследуем знаки производной.

1. Для \( x < -\frac{4}{3} \), например \( x = -2 \):
   \( y' = 3(-2)^2 + 4(-2) = 12 - 8 = 4 \) (положительно) → возрастает.

2. Для \( -\frac{4}{3} < x < 0 \), например \( x = -1 \):
   \( y' = 3(-1)^2 + 4(-1) = 3 - 4 = -1 \) (отрицательно) → убывает.

3. Для \( x > 0 \), например \( x = 1 \):
   \( y' = 3(1)^2 + 4(1) = 3 + 4 = 7 \) (положительно) → возрастает.

Таким образом, функция:

• Убывает на интервале \( \left(-\frac{4}{3}, 0\right) \)
• Возрастает на интервалах \( (-\infty, -\frac{4}{3}) \) и \( (0, +\infty) \)

4. y = -3x^3 - x

Шаг 1: Найдем производную функции.

\( y' = \frac{d}{dx}(-3x^3 - x) = -9x^2 - 1 \)

Шаг 2: Анализ производной.

Производная \( y' = -9x^2 - 1 \) — всегда отрицательна, так как:

• \( -9x^2 \) всегда не положительно и -1 делает его строго отрицательным.

Таким образом, функция монотонно убывает на всей области определения.

5. y = x^{0.5} + x^5

Шаг 1: Найдем производную функции.

\( y' = \frac{d}{dx}(x^{0.5}) + \frac{d}{dx}(x^5) = \frac{1}{2}x^{-0.5} + 5x^4 \)

Шаг 2: Анализ производной.

• \( \frac{1}{2}x^{-0.5} \) определено для \( x > 0 \) и стремится к бесконечности, когда \( x \) стремится к 0.
• \( 5x^4 \) — положительный для всех \( x > 0 \).

Таким образом, \( y' > 0 \) для \( x > 0 \) и на интервале \( (0, +\infty) \) функция возрастает. Для \( x < 0 \) производная не определена.

6. y = -x^3 - x^{0.5}

Шаг 1: Найдем производную функции.

\( y' = \frac{d}{dx}(-x^3) + \frac{d}{dx}(-x^{0.5}) = -3x^2 - \frac{1}{2}x^{-0.5} \)

Шаг 2: Анализ производной.

Мы видим, что для \( x > 0 \):

• \( -3x^2 \) - отрицательно.
• \( -\frac{1}{2}x^{-0.5} \) - тоже отрицательно.

Таким образом, \( y' < 0 \) для \( x > 0 \), следовательно на этом интервале функция убывает. Для \( x < 0 \) функция не определена.

Резюме:

1. y = 2 - 5x: монотонно убывает.
2. y = x^3 + 4: возрастает на интервале и убывает на (-∞, 0).
3. y = x^3 + 2x^2: убывает на \( \left(-\frac{4}{3}, 0\right) \) и возрастает на других интервалах.
4. y = -3x^3 - x: монотонно убывает.
5. y = x^{0.5} + x^5: возрастает на \( (0, +\infty) \).
6. y = -x^3 - x^{0.5}: убывает на \( (0, +\infty) \).