Чтобы решить уравнение ((x - 2)^2 - (x + 6)^2 = 2x^2), начнем с того, чтобы упростить его.
Шаг 1: Применение формулы разности квадратов
Уравнение имеет форму (a^2 - b^2), которое можно упростить с помощью формулы разности квадратов:
[
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
]
Где (a = (x - 2)) и (b = (x + 6)).
Найдем (a - b) и (a + b):
(a - b):
[
(x - 2) - (x + 6) = x - 2 - x - 6 = -8
]
(a + b):
[
(x - 2) + (x + 6) = x - 2 + x + 6 = 2x + 4
]
Теперь подставим это в нашу формулу разности квадратов:
[
(x - 2)^2 - (x + 6)^2 = -8(2x + 4)
]
Шаг 2: Подставим это в уравнение
Теперь у нас стало:
[
-8(2x + 4) = 2x^2
]
Шаг 3: Упростим уравнение
Упростим левую часть:
[
-16x - 32 = 2x^2
]
Шаг 4: Приведем уравнение к канонической форме
Переносим все элементы в одну сторону:
[
2x^2 + 16x + 32 = 0
]
Шаг 5: Упростим уравнение
Мы можем разделить всё уравнение на 2:
[
x^2 + 8x + 16 = 0
]
Шаг 6: Решение квадратного уравнения
Теперь мы видим, что это квадратное уравнение. Мы можем попробовать решить его с помощью формулы:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где (a = 1), (b = 8), (c = 16).
Находим дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 64 - 64 = 0
]
Дискриминант равен 0, значит у уравнения есть одно двойное решение.
Шаг 7: Подставляем в формулу
Подставляем в формулу:
[
x = \frac{-8 \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1} = \frac{-8}{2} = -4
]
Ответ
Таким образом, решение уравнения ((x - 2)^2 - (x + 6)^2 = 2x^2) — это число:
[
\boxed{-4}
]
Проверив полученное значение в исходном уравнении, вы можете убедиться, что оно действительно является решением.
