Решите уравнение ( x − 2 ) 2 − ( x + 6 ) 2 = 2 x 2 (x−2) 2 −(x+6) 2 =2x 2
Чтобы решить уравнение \((x - 2)^2 - (x + 6)^2 = 2x^2\), начнем с того, чтобы упростить его.
Шаг 1: Применение формулы разности квадратов
Уравнение имеет форму \(a^2 - b^2\), которое можно упростить с помощью формулы разности квадратов: \[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \] Где \(a = (x - 2)\) и \(b = (x + 6)\).
Найдем \(a - b\) и \(a + b\):
\(a - b\): \[ (x - 2) - (x + 6) = x - 2 - x - 6 = -8 \]
\(a + b\): \[ (x - 2) + (x + 6) = x - 2 + x + 6 = 2x + 4 \]
Теперь подставим это в нашу формулу разности квадратов: \[ (x - 2)^2 - (x + 6)^2 = -8(2x + 4) \]
Шаг 2: Подставим это в уравнение
Теперь у нас стало: \[ -8(2x + 4) = 2x^2 \]
Шаг 3: Упростим уравнение
Упростим левую часть: \[ -16x - 32 = 2x^2 \]
Шаг 4: Приведем уравнение к канонической форме
Переносим все элементы в одну сторону: \[ 2x^2 + 16x + 32 = 0 \]
Шаг 5: Упростим уравнение
Мы можем разделить всё уравнение на 2: \[ x^2 + 8x + 16 = 0 \]
Шаг 6: Решение квадратного уравнения
Теперь мы видим, что это квадратное уравнение. Мы можем попробовать решить его с помощью формулы: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 1\), \(b = 8\), \(c = 16\).
Находим дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 64 - 64 = 0 \] Дискриминант равен 0, значит у уравнения есть одно двойное решение.
Шаг 7: Подставляем в формулу
Подставляем в формулу: \[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1} = \frac{-8}{2} = -4 \]
Ответ
Таким образом, решение уравнения \((x - 2)^2 - (x + 6)^2 = 2x^2\) — это число: \[ \boxed{-4} \]
Проверив полученное значение в исходном уравнении, вы можете убедиться, что оно действительно является решением.
