Давайте решим задачу шаг за шагом.
Дана информация:
- Треугольник ABC с углом C равным 90° (это означает, что треугольник прямоугольный).
- AB = 13 (гипотенуза или сторона, противолежащая углу C).
- Тангенс угла A равен ( \frac{1}{5} ).
Требуется найти:
- AH (проекция стороны AC на сторону AB).
Анализ задачи:
В прямоугольном треугольнике для угла A, мы можем использовать определение тангенса:
[
\tan A = \frac{\text{противолежащая сторона}}{\text{прилежащая сторона}} = \frac{BC}{AC}
]
Из условия задачи: ( \tan A = \frac{1}{5} )
Обозначения:
- Пусть BC = x (противолежащая сторона для угла A).
- Пусть AC = 5x (прилежащая сторона для угла A).
По теореме Пифагора:
В прямоугольном треугольнике ABC выполняется следующее соотношение:
[
AB^2 = AC^2 + BC^2
]
Подставим известные значения:
[
13^2 = (5x)^2 + x^2
]
Приведем уравнение к более простому виду:
[
169 = 25x^2 + x^2
]
[
169 = 26x^2
]
Решаем это уравнение относительно x:
[
x^2 = \frac{169}{26}
]
Теперь находим x:
[
x^2 = \frac{169}{26} \approx 6.5
]
[
x = \sqrt{6.5} \approx 2.55
]
Теперь найдем AC:
[
AC = 5x = 5 \cdot 2.55 \approx 12.75
]
Теперь находим AH:
AH — это проекция AC на AB. Мы можем использовать следующее отношение:
По отношению к углу A:
[
\frac{AH}{AC} = \cos A
]
Чтобы найти cos A, нам нужно знать ( \sin A ) и ( \tan A ):
[
\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{x}{13} = \frac{2.55}{13} \approx 0.196
]
Теперь используем тригонометрическую идентичность:
[
\cos^2 A + \sin^2 A = 1
]
Следовательно:
[
\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - (0.196)^2 \approx 1 - 0.0384 \approx 0.9616
]
[
\cos A \approx 0.98
]
Теперь можем найти AH:
[
AH = AC \cdot \cos A \approx 12.75 \cdot 0.98 \approx 12.5
]
Ответ:
AH ≈ 12.5.
Таким образом, проекция AC на AB (AH) равна приблизительно 12.5 единиц.
