Графическим методом решите систему и ответьте на вопрос. Сколько решений имеет система
Для решения системы уравнений графическим методом рассмотрим каждое уравнение отдельно.
Уравнение \((x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4\) описывает окружность с центром в точке \((3, 4)\) и радиусом \(2\), так как \( \sqrt{4} = 2 \).
Уравнение \(y - x^2 = 0\) можно переписать как \(y = x^2\). Это парабола, направленная вверх с вершиной в точке \((0, 0)\).
Для определения количества решений системы, найдём точки пересечения окружности и параболы.
Шаги решения:
Построим окружность:
- Центр: \((3, 4)\).
- Радиус: \(2\).
Построим параболу:
- Вершина: \((0, 0)\).
- Парабола \(y = x^2\) открыта вверх.
Найдём точки пересечения: Подставим \(y = x^2\) в уравнение окружности: \[ (x - 3)^2 + (x^2 - 4)^2 = 4 \]
Раскроем скобки: \[ (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9 \] \[ (x^2 - 4)^2 = x^4 - 8x^2 + 16 \]
Подставим обратно в уравнение: \[ x^2 - 6x + 9 + x^4 - 8x^2 + 16 = 4 \]
Упростим уравнение: \[ x^4 - 7x^2 - 6x + 25 = 4 \] \[ x^4 - 7x^2 - 6x + 21 = 0 \]
Это уравнение можно решить численными методами или приближённо. Однако, чтобы понять, сколько решений, вполне достаточно графического метода, построив графики и глядя на пересечения.
Заключение:
Графически видно, что окружность и парабола пересекаются в двух точках. Следовательно, система имеет два решения.
