пожалуйста реши Докажите что: а) 125⁶-5¹⁶ кратно 120 б) 10⁶-20⁴ кратно 42.
Чтобы решить данные задачи, мы будем использовать свойства чисел и разложение на множители. Рассмотрим каждую часть отдельно.
а) Докажите, что \( 125^6 - 5^{16} \) кратно 120.
Преобразуем выражение.
Заметим, что \( 125 = 5^3 \), поэтому: \[ 125^6 = (5^3)^6 = 5^{18}. \] Таким образом, задачу можно записать так: \[ 125^6 - 5^{16} = 5^{18} - 5^{16}. \]Вынесем общий множитель.
Мы можем вынести \( 5^{16} \): \[ 5^{18} - 5^{16} = 5^{16}(5^2 - 1). \]Упростим выражение внутри скобок.
Теперь вычислим \( 5^2 - 1 \): \[ 5^2 - 1 = 25 - 1 = 24. \] Таким образом, наши вычисления приводят к следующему: \[ 5^{16} \cdot 24. \]Проверим кратность 120.
Чтобы показать, что \( 5^{16} \cdot 24 \) кратно 120, разложим 120 на множители: \[ 120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5. \] Мы уже видим, что \( 24 = 2^3 \cdot 3 \), следовательно, \( 5^{16} \cdot 24 \) содержит:- Достаточно \( 2^3 \),
- Достаточно \( 3 \),
- Достаточно \( 5 \) (поскольку \( 5^{16} \) более чем достаточно, чтобы обеспечить фактор 5).
Таким образом, \( 125^6 - 5^{16} \) кратно 120.
б) Докажите, что \( 10^6 - 20^4 \) кратно 42.
Преобразуем выражение.
Заметим, что \( 20 = 2 \cdot 10 \), следовательно,: \[ 20^4 = (2 \cdot 10)^4 = 2^4 \cdot 10^4. \] Теперь упростим \( 10^6 - 20^4 \): \[ 10^6 - 20^4 = 10^6 - 2^4 \cdot 10^4 = 10^4(10^2 - 2^4) = 10^4(100 - 16) = 10^4 \cdot 84. \]Проверим кратность 42.
Разложим 42 на множители: \[ 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7. \] Теперь проверим, есть ли в множителе \( 10^4 \cdot 84 \) все необходимые множители:- \( 84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \), что уже включает \( 2 \) и \( 3 \), и также добавляет \( 7 \).
Таким образом, у нас есть:
- \( 10^4 \) явно включает \( 2^4 \),
- \( 84 \) включает \( 3 \) и \( 7 \).
Таким образом, \( 10^6 - 20^4 \) кратно 42.
Ответ:
а) \( 125^6 - 5^{16} \) кратно 120.
б) \( 10^6 - 20^4 \) кратно 42.
