в мешке 124 монеты, причём одна – фальшивая. наугад выбирают две монеты. какова вероятность того, что будет выбрана фальшивая монета?

Для решения данной задачи, давайте разберем ее по шагам:

Шаг 1: Определим исходные данные

• В мешке всего 124 монеты.
• Из них 1 монета фальшивая и 123 монеты настоящие.

Шаг 2: Найдем общее количество способов выбрать две монеты

Чтобы найти общее количество способов выбрать 2 монеты из 124, мы используем формулу для вычисления сочетаний:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где:

• \( n \) - общее количество предметов (в нашем случае 124),
• \( k \) - количество предметов, которые мы выбираем (в нашем случае 2).

Подставляем значения:

\[ C(124, 2) = \frac{124!}{2!(124-2)!} = \frac{124 \cdot 123}{2 \cdot 1} = 7626 \]

Шаг 3: Найдем количество благоприятных исходов

Теперь найдем количество случаев, когда одна из выбранных монет будет фальшивой. Если мы хотим, чтобы одна монета была фальшивой, а другая - настоящей, мы можем выбрать 1 фальшивую монету и 1 настоящую.

Количество способов выбрать 1 фальшивую монету:

• Всего 1 фальшивая - выбрать ее можно только 1 способом.

Количество способов выбрать 1 настоящую монету из 123: \[ C(123, 1) = 123 \]

Шаг 4: Найдем общее количество благоприятных исходов

Таким образом, общее количество способов выбрать 1 фальшивую и 1 настоящую монету будет равно количеству способов выбрать настоящую монету:

\[ 1 \cdot 123 = 123 \]

Шаг 5: Вычислим вероятность

Теперь, когда мы знаем количество благоприятных случаев и общее количество случаев, можем найти вероятность того, что при выборе двух монет одна из них будет фальшивой.

Вероятность \( P \) определяется следующим образом:

\[ P = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число исходов}} = \frac{123}{7626} \]

Шаг 6: Упростим дробь

Упростим дробь \( \frac{123}{7626} \):

Сначала находим наибольший общий делитель (НОД) 123 и 7626. 123 делится на 3 и на 41, а 7626 в свою очередь делится на 3:

\[ \frac{123 ÷ 3}{7626 ÷ 3} = \frac{41}{2542} \]

Таким образом, вероятность того, что будет выбрана фальшивая монета, равна:

\[ P \approx 0.0161 \, (\text{или } 1.61\%) \]

Вывод

Вероятность того, что при случайном выборе двух монет одна из них будет фальшивой, составляет примерно \( 0.0161 \) или \( 1.61\% \).