Сумма квадратов двух натуральных чисел, одно из которых на 1 больше другого, равна 1741. Найдите эти числа.

Давайте решим задачу шаг за шагом. Нам нужно найти два натуральных числа, одно из которых на 1 больше другого, и сумма их квадратов равна 1741.

1. Обозначим числа:
   Пусть первое число — \( x \). Тогда второе число будет \( x + 1 \) (так как оно на 1 больше).

2. Запишем уравнение:
   Сумма квадратов этих двух чисел равна 1741. Можно записать это как:

   \[ x^2 + (x + 1)^2 = 1741 \]

3. Раскроем скобки:
   Давайте упростим уравнение:

   \[ x^2 + (x^2 + 2x + 1) = 1741 \] Это можно упростить до:

   \[ 2x^2 + 2x + 1 = 1741 \]

4. Переносим 1741 в левую часть уравнения:
   Теперь вычтем 1741 с обеих сторон:

   \[ 2x^2 + 2x + 1 - 1741 = 0 \] Получаем:

   \[ 2x^2 + 2x - 1740 = 0 \]

5. Упростим уравнение:
   Делим каждое слагаемое на 2:

   \[ x^2 + x - 870 = 0 \]

6. Решаем квадратное уравнение:
   Используем дискриминант для решения:

   \[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 1, b = 1, c = -870 \):

   \[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-870) = 1 + 3480 = 3481 \]

7. Находим корни уравнения:
   Поскольку дискриминант положительный, у уравнения два различных корня. Используем формулу для нахождения корней:

   \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

   Подставляем значения:

   \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{3481}}{2 \cdot 1} \]

   Теперь находим \( \sqrt{3481} \):

   \[ \sqrt{3481} = 59 \]

   Теперь подставим это в формулу:

   \[ x = \frac{-1 \pm 59}{2} \]

   Получаем два корня:

   1. \( x = \frac{58}{2} = 29 \)
   2. \( x = \frac{-60}{2} = -30 \) (отбрасываем, так как число должно быть натуральным).

8. Найдем оба числа:
   Первое число — \( x = 29 \), а второе — \( x + 1 = 30 \).

Таким образом, натуральные числа, сумма квадратов которых равна 1741, это 29 и 30.

Проверка:
Сумма квадратов: \[ 29^2 + 30^2 = 841 + 900 = 1741. \]

Ответ: 29 и 30.