Сумма квадратов двух натуральных чисел, одно из которых на 1 больше другого, равна 1741. Найдите эти числа.

Давайте решим задачу шаг за шагом. Нам нужно найти два натуральных числа, одно из которых на 1 больше другого, и сумма их квадратов равна 1741. 1. **Обозначим числа:** Пусть первое число — \( x \). Тогда второе число будет \( x + 1 \) (так как оно на 1 больше). 2. **Запишем уравнение:** Сумма квадратов этих двух чисел равна 1741. Можно записать это как: \[ x^2 + (x + 1)^2 = 1741 \] 3. **Раскроем скобки:** Давайте упростим уравнение: \[ x^2 + (x^2 + 2x + 1) = 1741 \] Это можно упростить до: \[ 2x^2 + 2x + 1 = 1741 \] 4. **Переносим 1741 в левую часть уравнения:** Теперь вычтем 1741 с обеих сторон: \[ 2x^2 + 2x + 1 - 1741 = 0 \] Получаем: \[ 2x^2 + 2x - 1740 = 0 \] 5. **Упростим уравнение:** Делим каждое слагаемое на 2: \[ x^2 + x - 870 = 0 \] 6. **Решаем квадратное уравнение:** Используем дискриминант для решения: \[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 1, b = 1, c = -870 \): \[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-870) = 1 + 3480 = 3481 \] 7. **Находим корни уравнения:** Поскольку дискриминант положительный, у уравнения два различных корня. Используем формулу для нахождения корней: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставляем значения: \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{3481}}{2 \cdot 1} \] Теперь находим \( \sqrt{3481} \): \[ \sqrt{3481} = 59 \] Теперь подставим это в формулу: \[ x = \frac{-1 \pm 59}{2} \] Получаем два корня: 1. \( x = \frac{58}{2} = 29 \) 2. \( x = \frac{-60}{2} = -30 \) (отбрасываем, так как число должно быть натуральным). 8. **Найдем оба числа:** Первое число — \( x = 29 \), а второе — \( x + 1 = 30 \). Таким образом, натуральные числа, сумма квадратов которых равна 1741, это **29 и 30**. **Проверка:** Сумма квадратов: \[ 29^2 + 30^2 = 841 + 900 = 1741. \] Ответ: **29 и 30**.