Дана правильная четырёхугольная призма ABCDA1B1C1D₁ со стороной основания, равной 5, и высотой, равной 5sqrt(6) Найди угол между диагональю призмы A*C_{1} и боковым ребром.

Для нахождения угла между диагональю призмы \( A C_1 \) и боковым ребром \( A A_1 \), начнем с анализа геометрических характеристик правильной четырёхугольной призмы.

1. Определение точек и координат:

   • Дадим координаты точкам призмы:
     • \( A(0, 0, 0) \)
     • \( B(5, 0, 0) \)
     • \( C(5, 5, 0) \)
     • \( D(0, 5, 0) \)
     • \( A_1(0, 0, 5\sqrt{6}) \)
     • \( B_1(5, 0, 5\sqrt{6}) \)
     • \( C_1(5, 5, 5\sqrt{6}) \)
     • \( D_1(0, 5, 5\sqrt{6}) \)

2. Векторные характеристики:

   • Теперь найдем векторы, представляющие диагональ \( A C_1 \) и боковое ребро \( A A_1 \).
   • Вектор диагонали \( AC_1 \) рассчитывается как: \[ \vec{AC_1} = C_1 - A = (5, 5, 5\sqrt{6}) - (0, 0, 0) = (5, 5, 5\sqrt{6}) \]
   • Вектор бокового ребра \( AA_1 \): \[ \vec{AA_1} = A_1 - A = (0, 0, 5\sqrt{6}) - (0, 0, 0) = (0, 0, 5\sqrt{6}) \]

3. Нахождение угла между векторами:

   • Угол между двумя векторами выражается через скалярное произведение: \[ \cos \theta = \frac{\vec{AC_1} \cdot \vec{AA_1}}{|\vec{AC_1}| |\vec{AA_1}|} \]
   • Вычислим скалярное произведение: \[ \vec{AC_1} \cdot \vec{AA_1} = (5, 5, 5\sqrt{6}) \cdot (0, 0, 5\sqrt{6}) = 5\sqrt{6} \times 5\sqrt{6} = 150 \]

4. Нахождение длин векторов:

   • Длина вектора \( \vec{AC_1} \): \[ |\vec{AC_1}| = \sqrt{5^2 + 5^2 + (5\sqrt{6})^2} = \sqrt{25 + 25 + 150} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \]
   • Длина вектора \( \vec{AA_1} \): \[ |\vec{AA_1}| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (5\sqrt{6})^2} = 5\sqrt{6} \]

5. Подставим значения в формулу для косинуса угла: \[ \cos \theta = \frac{150}{(10\sqrt{2}) (5\sqrt{6})} = \frac{150}{50\sqrt{12}} = \frac{150}{50 \cdot 2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \] Если \( \cos \theta = \sqrt{3}/2 \), тогда \[ \theta = 30^\circ \]

Ответ: Угол между диагональю призмы \( A C_1 \) и боковым ребром \( A A_1 \) равен \( 30^\circ \).