В урне находятся 3 синих, 8 красных и 9 белых шаров одинакового размера и веса, неразличимых на ощупь. Шары тщательно перемешаны. Какова вероятность появления синего, и двух…

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала поймем, что такое вероятность. Вероятность события определяется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов.

1. Общее количество шаров: В урне у нас:

   • 3 синих шара
   • 8 красных шаров
   • 9 белых шаров

   Суммарное количество шаров: \[ 3 + 8 + 9 = 20 \]

2. Общее количество способов выбрать 3 шара из 20: Формула для вычисления сочетаний, которая поможет нам найти количество способов выбрать 3 шара из 20, выглядит так: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Здесь \( n \) — общее количество элементов (в нашем случае 20), а \( k \) — количество выбираемых элементов (в нашем случае 3).

   Подставляем значения: \[ C(20, 3) = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20!}{3! \cdot 17!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{6840}{6} = 1140 \] Таким образом, общее количество способов выбрать 3 шара равно 1140.

3. Найдем количество благоприятных исходов: В этой задаче мы ищем вероятность того, чтобы один шар оказался синим, а два — красными. Для этого нам нужно определить, сколько способов выбрать 1 синий шар и 2 красных шара.

   Количество способов выбрать 1 синий шар из 3: \[ C(3, 1) = 3 \]

   Количество способов выбрать 2 красных шара из 8: \[ C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28 \]

   Общее количество благоприятных исходов: Теперь умножим количество способов выбрать синий шар и количество способов выбрать красные шары: \[ \text{Благоприятные исходы} = C(3, 1) \times C(8, 2) = 3 \times 28 = 84 \]

4. Найдем вероятность: Вероятность того, что при случайном выборе трех шаров один окажется синим, а два — красными, будет равна: \[ P = \frac{\text{Благоприятные исходы}}{\text{Общее количество способов}} = \frac{84}{1140} \]

   Упростим дробь: \[ P = \frac{84 \div 12}{1140 \div 12} = \frac{7}{95} \]

Итак, вероятность того, что при одном вынимании трех шаров вероятность появления одного синего и двух красных шаров составляет \(\frac{7}{95}\).