Для решения этой задачи будем использовать закон Бойля—Мариотта для идеального газа, а также уравнение состояния газа.
Шаг 1: Записываем уравнение состояния газа
Уравнение состояния для идеального газа можно записать как:
[
PV = nRT
]
где:
- ( P ) — давление,
- ( V ) — объем,
- ( n ) — количество молей газа,
- ( R ) — универсальная газовая постоянная (( R \approx 8,31 , \text{Дж/(моль·К)} )),
- ( T ) — температура в кельвинах (( T = t + 273,15 )).
Шаг 2: Определяем начальные параметры
У нас есть следующие параметры из условия:
- Начальное давление ( p_1 = 2,84 , \text{МПа} = 2,84 \times 10^6 , \text{Па} ).
- Начальная температура ( t = 7°C ) (преобразуем в Кельвины: ( T_1 = 7 + 273,15 = 280,15 , \text{K} )).
- Давление после расходования половины газа ( p_2 = 1,52 , \text{МПа} = 1,52 \times 10^6 , \text{Па} ).
Шаг 3: Определяем количество газа
Сначала определим количество газа при начальных условиях.
Из уравнения состояния:
[
p_1 V = n_1 R T_1
]
где ( n_1 ) — начальное количество молей газа. Мы ищем ( n_1 ), которое можно выразить как:
[
n_1 = \frac{p_1 V}{R T_1}
]
После расходования половины газа количество молей станет:
[
n_2 = \frac{n_1}{2} = \frac{p_1 V}{2 R T_1}
]
Шаг 4: Уравнение состояния после расхода газа
Теперь, когда мы внесем газ в помещение и станем измерять давление ( p_2 ), можем записать его состояние как:
[
p_2 V = n_2 R T_2
]
Подставляя ( n_2 ):
[
p_2 V = \left( \frac{p_1 V}{2 R T_1} \right) R T_2
]
Упрощаем:
[
p_2 = \frac{p_1}{2} \cdot \frac{T_2}{T_1}
]
Шаг 5: Находим температуру в помещении
Теперь выражаем ( T_2 ):
[
T_2 = \frac{p_2 \cdot 2 T_1}{p_1}
]
Подставляем известные значения:
[
T_2 = \frac{1,52 \times 10^6 \cdot 2 \cdot 280,15}{2,84 \times 10^6}
]
Шаг 6: Вычисления
Выполним расчеты:
[
T_2 = \frac{1,52 \times 10^6 \cdot 560,3}{2,84 \times 10^6}
= \frac{852,856 \times 10^3}{2,84 \times 10^6}
\approx 300 , \text{K}
]
Шаг 7: Преобразуем в градусы Цельсия
Переведем результат в градусы Цельсия:
[
t_2 = T_2 - 273,15 \approx 300 - 273,15 = 26,85 °C
]
Ответ
Температура в помещении ( T ) составляет приблизительно ( 26,85 , °C ).
