построить график функции
Чтобы построить график функции и решить задачу, давайте разберем данное выражение.
Функция задана кусочно:
\[ y = \begin{cases} x^2 - 10x + 25, & \text{если } x \geq 4 \\ \frac{1}{x-2}, & \text{если } x < 4 \end{cases} \]
Расшифровка каждого куска:
\(y = x^2 - 10x + 25\) для \(x \geq 4\):
Это квадратичная функция, которая имеет вид параболы. Для упрощения заметим, что это выражение можно представить как полный квадрат:
\[ x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2 \]
Это указывает на параболу с вершиной в точке \((5, 0)\), которая открывается вверх.
\(y = \frac{1}{x-2}\) для \(x < 4\):
Это функция гиперболического типа. Она имеет вертикальную асимптоту при \(x = 2\) (т.к. знаменатель обращается в ноль) и горизонтальную асимптоту при \(y = 0\).
Построение графика:
Парабола \((x - 5)^2\):
- Вершина: \((5, 0)\)
- Открывается вверх.
- Учитываем, что график начинается от \(x = 4\).
Гипербола \(\frac{1}{x-2}\):
- Вертикальная асимптота: \(x = 2\)
- Горизонтальная асимптота: \(y = 0\)
- Поскольку \(x < 4\), мы рассматриваем только левую часть гиперболы от точки \((2, +\infty)\) до точки при \(x = 4\).
Точки пересечения с прямой \(y = m\):
Чтобы прямая \(y = m\) имела общие точки с графиком, она должна пересекать хотя бы один из кусков функции.
Для параболы \((x - 5)^2 = m\), решаем уравнение:
\[ x - 5 = \pm \sqrt{m} \]
\(x = 5 + \sqrt{m}\) или \(x = 5 - \sqrt{m}\). При условии \(x \geq 4\), нужно чтобы \(5 - \sqrt{m} \leq 4\). Решив, получаем \(\sqrt{m} \geq 1\), то есть \(m \geq 1\).
Для гиперболы \(\frac{1}{x-2} = m\), решаем уравнение:
\[ x - 2 = \frac{1}{m} \Rightarrow x = 2 + \frac{1}{m} \]
При условии \(x < 4\), получаем \(2 + \frac{1}{m} < 4\). Решая, получаем \(\frac{1}{m} < 2\), то есть \(m > \frac{1}{2}\).
Итог:
Прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки, если \(m \geq 1\) (так как это общее решение для обоих кусков).
