Реши номер 4

Для решения задачи докажем, что при любых нечётных натуральных значениях \( n \), значение выражения \( 1^n + 2^n + \ldots + 10^n \) кратно 11. ### Шаг 1: Рассмотрим выражение Запишем сумму: \[ S = 1^n + 2^n + 3^n + \ldots + 10^n \] Необходимо доказать, что \( S \equiv 0 \pmod{11} \) для нечётных \( n \). ### Шаг 2: Используем свойства степеней в модуле Для вычислений по модулю 11 можно воспользоваться малой теоремой Ферма: Для любого числа \( a \), которое не делится на 11: \[ a^{10} \equiv 1 \pmod{11} \] Поскольку 11 — простое число, можно отметить: - \( 10 \equiv -1 \pmod{11} \) ### Шаг 3: Вычисляем степени для конкретных оснований Вычислим \( a^n \pmod{11} \) для \( a = 1, 2, \ldots, 10 \) и нечётных \( n \). Заметим: - \( 1^n \equiv 1 \pmod{11} \), потому что \( 1^n = 1 \). - \( 10^n \equiv (-1)^n \equiv -1 \pmod{11} \) для нечётных \( n \). Для остальных чисел \( 2, 3, \ldots, 9 \), нужно рассмотреть их индивидуальные циклы повторяемости по модулю 11. Однако заметим, что группы (симметричные по отношению к 11) обеспечат взятие пар чисел, которые в сумме дают ноль, например: - \( 2^n \equiv (11-2)^n \equiv (-9)^n \equiv 9^n \equiv -2^n \pmod{11} \) и так далее. ### Шаг 4: Свёртка и проверка выражения Каждое число от 1 до 10 можно разбить на пары, чьи суммы гомологичны по модулю и компенсируют друг друга, например: - \( 2^n + 9^n \equiv 0 \pmod{11} \) - \( 3^n + 8^n \equiv 0 \pmod{11} \) - \( 4^n + 7^n \equiv 0 \pmod{11} \) - \( 5^n + 6^n \equiv 0 \pmod{11} \) Пара \( (1^n, 10^n) \) дает: \[ 1^n + (-1) \equiv 0 \pmod{11} \] ### Вывод Таким образом, сумма \( 1^n + 2^n + \ldots + 10^n \equiv 0 \pmod{11} \), т.е., кратна 11 для любого нечётного \( n \). Следовательно, утверждение доказано.