X-2y^2=2 3x+y=7

Пусть у нас есть система уравнений: 1) \( x - 2y^2 = 2 \) 2) \( 3x + y = 7 \) Наша цель — решить эту систему уравнений системой алгебраических преобразований. Начнем с первого уравнения. ### Шаг 1: Выразим \( x \) через \( y \) из первого уравнения. Перепишем первое уравнение: \[ x = 2 + 2y^2 \] Теперь мы можем подставить это выражение для \( x \) во второе уравнение. ### Шаг 2: Подставим \( x \) во второе уравнение. Подставляем \( x \) из первого уравнения во второе: \[ 3(2 + 2y^2) + y = 7 \] Раскроем скобки: \[ 6 + 6y^2 + y = 7 \] ### Шаг 3: Переносим все в одну сторону. Теперь упростим уравнение: \[ 6y^2 + y + 6 - 7 = 0 \] Это переработается в: \[ 6y^2 + y - 1 = 0 \] ### Шаг 4: Решим квадратное уравнение. Теперь у нас есть квадратное уравнение вида \( ay^2 + by + c = 0 \), где: - \( a = 6 \) - \( b = 1 \) - \( c = -1 \) Мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Подставим наши значения: \[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1)}}{2 \cdot 6} \] Посчитаем дискриминант: \[ D = 1 + 24 = 25 \] Теперь находим \( y \): \[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{12} \] \[ y = \frac{-1 \pm 5}{12} \] Это дает два значения для \( y \): 1) \( y_1 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \) 2) \( y_2 = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2} \) ### Шаг 5: Найдем соответствующие значения \( x \). Теперь нам нужно найти соответствующее значение \( x \) для каждого значения \( y \). #### Для \( y_1 = \frac{1}{3} \): Подставим в выражение \( x = 2 + 2y^2 \): \[ x = 2 + 2\left( \frac{1}{3} \right)^2 \] \[ x = 2 + 2 \cdot \frac{1}{9} \] \[ x = 2 + \frac{2}{9} = \frac{18}{9} + \frac{2}{9} = \frac{20}{9} \] #### Для \( y_2 = -\frac{1}{2} \): Подставим в выражение \( x = 2 + 2y^2 \): \[ x = 2 + 2\left( -\frac{1}{2} \right)^2 \] \[ x = 2 + 2 \cdot \frac{1}{4} \] \[ x = 2 + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \] ### Итоговые решения: У нас есть два решения для системы уравнений: 1) \( \left( \frac{20}{9}, \frac{1}{3} \right) \) 2) \( \left( \frac{5}{2}, -\frac{1}{2} \right) \) Таким образом, мы нашли все возможные значения переменных \( x \) и \( y \). Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно разобрать что-то ещё, дайте знать!