x-2y^2=2 3x+y=7
Пусть у нас есть система уравнений:
- \( x - 2y^2 = 2 \)
- \( 3x + y = 7 \)
Наша цель — решить эту систему уравнений системой алгебраических преобразований. Начнем с первого уравнения.
Шаг 1: Выразим \( x \) через \( y \) из первого уравнения.
Перепишем первое уравнение:
\[ x = 2 + 2y^2 \]
Теперь мы можем подставить это выражение для \( x \) во второе уравнение.
Шаг 2: Подставим \( x \) во второе уравнение.
Подставляем \( x \) из первого уравнения во второе:
\[ 3(2 + 2y^2) + y = 7 \]
Раскроем скобки:
\[ 6 + 6y^2 + y = 7 \]
Шаг 3: Переносим все в одну сторону.
Теперь упростим уравнение:
\[ 6y^2 + y + 6 - 7 = 0 \]
Это переработается в:
\[ 6y^2 + y - 1 = 0 \]
Шаг 4: Решим квадратное уравнение.
Теперь у нас есть квадратное уравнение вида \( ay^2 + by + c = 0 \), где:
- \( a = 6 \)
- \( b = 1 \)
- \( c = -1 \)
Мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Подставим наши значения:
\[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1)}}{2 \cdot 6} \]
Посчитаем дискриминант:
\[ D = 1 + 24 = 25 \]
Теперь находим \( y \):
\[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{12} \]
\[ y = \frac{-1 \pm 5}{12} \]
Это дает два значения для \( y \):
- \( y_1 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \)
- \( y_2 = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2} \)
Шаг 5: Найдем соответствующие значения \( x \).
Теперь нам нужно найти соответствующее значение \( x \) для каждого значения \( y \).
Для \( y_1 = \frac{1}{3} \):
Подставим в выражение \( x = 2 + 2y^2 \):
\[ x = 2 + 2\left( \frac{1}{3} \right)^2 \]
\[ x = 2 + 2 \cdot \frac{1}{9} \]
\[ x = 2 + \frac{2}{9} = \frac{18}{9} + \frac{2}{9} = \frac{20}{9} \]
Для \( y_2 = -\frac{1}{2} \):
Подставим в выражение \( x = 2 + 2y^2 \):
\[ x = 2 + 2\left( -\frac{1}{2} \right)^2 \]
\[ x = 2 + 2 \cdot \frac{1}{4} \]
\[ x = 2 + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \]
Итоговые решения:
У нас есть два решения для системы уравнений:
- \( \left( \frac{20}{9}, \frac{1}{3} \right) \)
- \( \left( \frac{5}{2}, -\frac{1}{2} \right) \)
Таким образом, мы нашли все возможные значения переменных \( x \) и \( y \). Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно разобрать что-то ещё, дайте знать!
