Найдите корни уравнения: x²+3/x²+1=2
Чтобы решить уравнение \( \frac{x^2 + 3}{x^2 + 1} = 2 \), начнем с того, чтобы избавиться от дроби, умножив обе стороны уравнения на \( x^2 + 1 \). Однако помним, что \( x^2 + 1 \) не может равняться нулю (поскольку для любых действительных \( x \) это выражение всегда положительно).
Вот шаги к решению:
Умножим обе стороны на \( x^2 + 1 \):
\[ x^2 + 3 = 2(x^2 + 1) \]
Раскроем скобки на правой стороне:
\[ x^2 + 3 = 2x^2 + 2 \]
Перенесем все члены в одну сторону уравнения:
\[ x^2 + 3 - 2x^2 - 2 = 0 \]
Упрощаем уравнение:
\[ -x^2 + 1 = 0 \]
Переписываем уравнение:
\[ x^2 = 1 \]
Извлекаем корни из уравнения:
\[ x = \pm 1 \]
Таким образом, получаем два корня: \( x = 1 \) и \( x = -1 \).
Проверка корней
Теперь давайте проверим, являются ли найденные корни действительными решением исходного уравнения:
- Для \( x = 1 \):
\[ \frac{1^2 + 3}{1^2 + 1} = \frac{4}{2} = 2 \quad \text{(верно)} \]
- Для \( x = -1 \):
\[ \frac{(-1)^2 + 3}{(-1)^2 + 1} = \frac{4}{2} = 2 \quad \text{(верно)} \]
Оба корня \( x = 1 \) и \( x = -1 \) удовлетворяют исходному уравнению.
Ответ
Корни уравнения: \( x = 1 \) и \( x = -1 \).
