Найдите корни уравнения: x²+3/x²+1=2

Чтобы решить уравнение \( \frac{x^2 + 3}{x^2 + 1} = 2 \), начнем с того, чтобы избавиться от дроби, умножив обе стороны уравнения на \( x^2 + 1 \). Однако помним, что \( x^2 + 1 \) не может равняться нулю (поскольку для любых действительных \( x \) это выражение всегда положительно). Вот шаги к решению: 1. **Умножим обе стороны на \( x^2 + 1 \):** \[ x^2 + 3 = 2(x^2 + 1) \] 2. **Раскроем скобки на правой стороне:** \[ x^2 + 3 = 2x^2 + 2 \] 3. **Перенесем все члены в одну сторону уравнения:** \[ x^2 + 3 - 2x^2 - 2 = 0 \] 4. **Упрощаем уравнение:** \[ -x^2 + 1 = 0 \] 5. **Переписываем уравнение:** \[ x^2 = 1 \] 6. **Извлекаем корни из уравнения:** \[ x = \pm 1 \] Таким образом, получаем два корня: \( x = 1 \) и \( x = -1 \). ### Проверка корней Теперь давайте проверим, являются ли найденные корни действительными решением исходного уравнения: - **Для \( x = 1 \):** \[ \frac{1^2 + 3}{1^2 + 1} = \frac{4}{2} = 2 \quad \text{(верно)} \] - **Для \( x = -1 \):** \[ \frac{(-1)^2 + 3}{(-1)^2 + 1} = \frac{4}{2} = 2 \quad \text{(верно)} \] Оба корня \( x = 1 \) и \( x = -1 \) удовлетворяют исходному уравнению. ### Ответ Корни уравнения: \( x = 1 \) и \( x = -1 \).