Решите уравнение: 3x+1/x+2-x-1/x-2=1
Давайте решим уравнение:
\[ \frac{3x + 1}{x + 2} - \frac{x - 1}{x - 2} = 1 \]
Шаг 1: Привести уравнение к общему знаменателю
Для начала нужно найти общий знаменатель для дробей. Общий знаменатель будет равен \((x + 2)(x - 2)\). Перепишем дроби с этим знаменателем:
\[ \frac{(3x + 1)(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)} - \frac{(x - 1)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} = 1 \]
Преобразуем уравнение:
\[ \frac{(3x + 1)(x - 2) - (x - 1)(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} = 1 \]
Шаг 2: Упростить числитель
Теперь упростим числитель:
- Раскроем скобки в числителе: \[ (3x + 1)(x - 2) = 3x^2 - 6x + x - 2 = 3x^2 - 5x - 2 \] \[ (x - 1)(x + 2) = x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2 \]
Теперь подставим обратно в уравнение:
\[ \frac{(3x^2 - 5x - 2) - (x^2 + x - 2)}{(x + 2)(x - 2)} = 1 \]
Упростим числитель: \[ 3x^2 - 5x - 2 - x^2 - x + 2 = 2x^2 - 6x \]
Таким образом, уравнение становится: \[ \frac{2x^2 - 6x}{(x + 2)(x - 2)} = 1 \]
Шаг 3: Умножить обе стороны на \((x + 2)(x - 2)\)
Теперь умножим обе стороны на \((x + 2)(x - 2)\): \[ 2x^2 - 6x = (x + 2)(x - 2) \] Но \((x + 2)(x - 2) = x^2 - 4\), следовательно:
\[ 2x^2 - 6x = x^2 - 4 \]
Шаг 4: Перенести все в одну сторону
Переносим все в одну сторону: \[ 2x^2 - 6x - x^2 + 4 = 0 \] что упрощается до: \[ x^2 - 6x + 4 = 0 \]
Шаг 5: Решение квадратного уравнения
Теперь решим квадратное уравнение \(x^2 - 6x + 4 = 0\) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20 \]
Так как дискриминант больше нуля, у нас два различных корня: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} \]
Упрощаем корень: \[ \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] Подставляем это в формулу: \[ x = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5} \]
Ответ
Таким образом, у уравнения два решения: \[ x_1 = 3 + \sqrt{5}, \quad x_2 = 3 - \sqrt{5} \]
