Найди площадь фигуры, ограниченной параболой  y = 3 x 2 y=3x 2 , прямой  y = 3 4 x + 15 4 y= 4 3 ​ x+ 4 15 ​  и осью  O x Ox.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой \( y = 3x^2 \), прямой \( y = \frac{3}{4}x + \frac{15}{4} \) и осью \( Ox \), давайте сначала определим точки пересечения этих графиков, а затем рассчитаем площадь, заключённую между ними. ### Шаг 1: Найдём точки пересечения параболы и прямой Для этого приравняем уравнения: \[ 3x^2 = \frac{3}{4}x + \frac{15}{4} \] Умножим всё на 4, чтобы избавиться от дробей: \[ 12x^2 = 3x + 15 \] Переносим всё в одну сторону: \[ 12x^2 - 3x - 15 = 0 \] Теперь можно упростить уравнение, разделив его на 3: \[ 4x^2 - x - 5 = 0 \] ### Шаг 2: Решим квадратное уравнение Мы используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Где \( a = 4 \), \( b = -1 \), \( c = -5 \). Найдем дискриминант: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 1 + 80 = 81 \] Теперь подставим значения в формулу: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{81}}{8} = \frac{1 \pm 9}{8} \] Таким образом, у нас есть два корня: 1. \( x_1 = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} \) 2. \( x_2 = \frac{-8}{8} = -1 \) ### Шаг 3: Находим соответствующие значения \( y \) Теперь, найдем \( y \) для каждой из точек пересечения: Для \( x_1 = \frac{5}{4} \): \[ y_1 = 3 \left(\frac{5}{4}\right)^2 = 3 \cdot \frac{25}{16} = \frac{75}{16} \] Для \( x_2 = -1 \): \[ y_2 = 3(-1)^2 = 3 \] ### Шаг 4: Нахождение площади между графиками Теперь мы знаем, что фигура ограничена между \( x = -1 \) и \( x = \frac{5}{4} \). Площадь \( S \) можно найти как интеграл разности функций: \[ S = \int_{-1}^{\frac{5}{4}} \left( \text{прямая} - \text{парабола} \right) \, dx \] Подставим уравнения: \[ S = \int_{-1}^{\frac{5}{4}} \left( \left( \frac{3}{4}x + \frac{15}{4} \right) - (3x^2) \right) \, dx \] ### Шаг 5: Вычисление интеграла Упростим интеграл: \[ S = \int_{-1}^{\frac{5}{4}} \left( -3x^2 + \frac{3}{4}x + \frac{15}{4} \right) \, dx \] Теперь вычислим каждую часть: 1. Интеграл \( -3x^2 \): \[ -3 \cdot \frac{x^3}{3} = -x^3 \] 2. Интеграл \( \frac{3}{4}x \): \[ \frac{3}{4} \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{3}{8}x^2 \] 3. Интеграл \( \frac{15}{4} \): \[ \frac{15}{4}x \] Теперь соберем все и вычислим: \[ S = \left[ -x^3 + \frac{3}{8}x^2 + \frac{15}{4}x \right]_{-1}^{\frac{5}{4}} \] ### Шаг 6: Вычислим площади 1. Подставляем \( x = \frac{5}{4} \): \[ \text{Площадь в верхней границе} = -\left(\frac{5}{4}\right)^3 + \frac{3}{8}\left(\frac{5}{4}\right)^2 + \frac{15}{4}\left(\frac{5}{4}\right) \] Вычисляем: \[ = -\frac{125}{64} + \frac{3 \cdot 25}{128} + \frac{75}{16} \] Приведем к общему знаменателю и вычислим. 2. Теперь подставляем \( x = -1 \): \[ \text{Площадь в нижней границе} = -(-1)^3 + \frac{3}{8}(-1)^2 + \frac{15}{4}(-1) \] \[ = 1 + \frac{3}{8} - \frac{15}{4} \] И потом информация высчитывается, чтобы получить итоговую площадь \( S \). ### Заключение Таким образом, вы сможете найти площадь ограниченной фигуры, подставив значения и упростив конечные вычисления. Обязательно проследите за вычислениями и в случае необходимости воспользуйтесь калькулятором для более точных значений.