22 Постройте график функции у - x - 3| x| - 2х и определите, при каких значениях прямая у - т имеет с графиком не менее одной, но не более трёх общих точек.

Для решения задачи мы начнём с анализа функции \( y = -x - 3|x| - 2x \) и построим её график. Затем мы определим условия для прямой \( y = t \) так, чтобы она имела от одной до трёх пересечений с графиком данной функции.

Шаг 1: Упрощение функции

Сначала перепишем функцию: \[ y = -x - 3|x| - 2x \] Это можно упростить. В зависимости от значений \( x \), выражение \( |x| \) будет вести себя по-разному:

1. Если \( x \ge 0 \): \[ |x| = x \quad \Rightarrow \quad y = -x - 3x - 2x = -6x \]

2. Если \( x < 0 \): \[ |x| = -x \quad \Rightarrow \quad y = -x - 3(-x) - 2x = -x + 3x - 2x = 0 \]

Итак, функция может быть записана в виде: \[ y = \begin{cases} -6x, & \text{если } x \ge 0 \\ 0, & \text{если } x < 0 \end{cases} \]

Шаг 2: Построение графика функции

1. Для \( x < 0 \), \( y = 0 \) — это горизонтальная прямая, которая совпадает с осью \( x \).
2. Для \( x \ge 0 \), \( y = -6x \) — это прямая, которая проходит через начало координат и имеет отрицательный наклон.

На графике это выглядит так:

• Для \( x < 0 \) (левая часть графика) линия находится на уровне \( y = 0 \).
• Для \( x \ge 0 \) (правая часть графика) линия убывает с наклоном -6.

Шаг 3: Условия для пересечения с прямой \( y = t \)

Теперь мы хотим найти, при каких значениях \( t \) прямая \( y = t \) будет пересекаться с графиком функции.

1. \( t < 0 \):

• В этом случае прямая \( y = t \) лежит ниже оси \( x \) и, следовательно, не пересечется с графиком (который находится на уровне \( y = 0 \) для \( x < 0 \) и убывает с \( y = 0 \) для \( x \ge 0 \)).
• Количество пересечений: 0.

2. \( t = 0 \):

• Прямая \( y = 0 \) совпадает с отрезком графика для \( x < 0 \).
• Количество пересечений: 1 (в точке всех \( x < 0 \)).

3. \( 0 < t \le 0 \):

• Прямая \( y = t \) пересекает горизонтальную линию \( y = 0 \) в одной точке (можно считать, что одно пересечение с отрезком для \( x < 0 \)).

• Для \( x \ge 0 \) прямая \( y = t \) пересечется с убывающей прямой \( y = -6x \). Найдем точку пересечения: \[ -6x = t \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{t}{6} \] Для этого с \( x \ge 0 \), \( t \) должно быть \( t \le 0 \).

• Количество пересечений: 1 (в \( x = -\frac{t}{6} \)).

4. \( t > 0 \):

• Прямая \( y = t \) будет пересекать:
  • Горизонтальную линию \( y = 0 \) в одной точке.
  • Прямую \( y = -6x \) в одной точке: \( x = -\frac{t}{6} \).

Таким образом, прямая может иметь 1 или 2 пересечения.

Заключение

Таким образом, прямая \( y = t \) будет иметь:

• 1 пересечение, если \( t = 0 \).
• 2 пересечения, если \( 0 < t \le 6 \) (будет две разные точки в виде пересечений).
• 3 пересечения, если \( t = 6 \) (прямая пересекает два раза \( y = -6x \) и ноль).

Следовательно, прямой \( y = t \) будет иметь от 1 до 3 пересечений с графиком функции при значениях \( t \) от \( 0 \) до \( 6 \):

Ответ: \( t \) может быть в диапазоне \( 0 \leq t \leq 6 \).