Давайте решим задачу шаг за шагом.
Шаг 1: Понимание условий задачи
У нас есть два тела, которые начинают движение из одной точки. Мы знаем, что:
- Первое тело движется со скоростью ( v_1(t) = 6t^2 + 2t ) м/с.
- Второе тело имеет постоянную скорость ( v_2 = 4 + 5 = 9 ) м/с.
Нам нужно найти расстояние между этими двумя телами через 5 секунд.
Шаг 2: Вычисление расстояний, пройденных каждым телом
Мы можем использовать формулу расстояния:
[
S = v \cdot t
]
где ( S ) — пройденное расстояние, ( v ) — скорость, а ( t ) — время.
Расстояние для первого тела
Для первого тела скорость меняется со временем. Нам нужно вычислить среднюю скорость на отрезке времени от 0 до 5 секунд, или мы можем рассчитать расстояние, пройденное первым телом, интегрируя его скорость.
Напишем интеграл скорости:
[
S_1 = \int_0^5 (6t^2 + 2t) dt
]
Решим этот интеграл:
- Находим первообразную:
[
\int (6t^2 + 2t) dt = 2t^3 + t^2 + C
]
- Подставляем пределы интегрирования:
[
S_1 = \left[ 2t^3 + t^2 \right]_0^5 = (2 \cdot 5^3 + 5^2) - (2 \cdot 0^3 + 0^2)
]
- Вычисляем:
[
S_1 = (2 \cdot 125 + 25) - 0 = 250 + 25 = 275 \text{ м}
]
Расстояние для второго тела
Второе тело движется с постоянной скоростью 9 м/c. Поэтому расстояние, пройденное вторым телом, можно вычислить напрямую:
[
S_2 = v_2 \cdot t = 9 \cdot 5 = 45 \text{ м}
]
Шаг 3: Находим расстояние между телами
Теперь, когда мы знаем, сколько прошли каждое тело, мы можем найти расстояние между ними через 5 секунд:
[
\text{Расстояние между телами} = S_1 - S_2 = 275 - 45 = 230 \text{ м}
]
Ответ
Через 5 секунд два тела окажутся на расстоянии 230 метров друг от друга.
