Докажи что 18⁶+18⁵-18⁴ кратно 11

Чтобы доказать, что \( 18^6 + 18^5 - 18^4 \) кратно 11, давайте начнем с нахождения остатка от деления этого выражения на 11. Для этого будет полезно использовать свойства чисел и остатки. 1. **Определим остатки**: Начнём с того, что \( 18 \equiv 7 \mod{11} \). Это значит, что 18 при делении на 11 дает остаток 7. 2. **Подставим этот остаток в выражение**: Теперь заменим 18 на 7 в нашем выражении: \[ 18^6 + 18^5 - 18^4 \equiv 7^6 + 7^5 - 7^4 \mod{11} \] 3. **Вычислим степени 7**: Теперь нам нужно вычислить \( 7^6 \), \( 7^5 \) и \( 7^4 \) по отдельности по модулю 11. - \( 7^2 = 49 \equiv 5 \mod{11} \) - \( 7^3 = 7 \cdot 7^2 = 7 \cdot 5 = 35 \equiv 2 \mod{11} \) - \( 7^4 = 7 \cdot 7^3 = 7 \cdot 2 = 14 \equiv 3 \mod{11} \) - \( 7^5 = 7 \cdot 7^4 = 7 \cdot 3 = 21 \equiv 10 \mod{11} \) - \( 7^6 = 7 \cdot 7^5 = 7 \cdot 10 = 70 \equiv 4 \mod{11} \) 4. **Подставим найденные значения**: Теперь подставим результаты в выражение: \[ 7^6 + 7^5 - 7^4 \equiv 4 + 10 - 3 \mod{11} \] 5. **Проведем операции**: Выполнив сложение и вычитание: \[ 4 + 10 = 14 \equiv 3 \mod{11} \] \( 3 - 3 = 0 \) Таким образом, получается: \[ 7^6 + 7^5 - 7^4 \equiv 0 \mod{11} \] 6. **Заключение**: Это значит, что \( 18^6 + 18^5 - 18^4 \equiv 0 \mod{11} \), что и требовалось доказать: выражение \( 18^6 + 18^5 - 18^4 \) кратно 11. Таким образом, мы доказали, что \( 18^6 + 18^5 - 18^4 \) действительно кратно 11.