Для решения неравенства (\left(\frac{1}{2}\right)^x \leq \frac{1}{128}) будем действовать пошагово.
Шаг 1: Привести правую часть к общему основанию
Сначала заметим, что (128) можно выразить через (2):
[
128 = 2^7
]
Следовательно,
[
\frac{1}{128} = \frac{1}{2^7} = 2^{-7}
]
Теперь мы можем переписать неравенство:
[
\left(\frac{1}{2}\right)^x \leq 2^{-7}
]
Шаг 2: Поменять основание
Обратите внимание, что (\frac{1}{2}) можно записать как (2^{-1}). Следовательно:
[
\left(2^{-1}\right)^x = 2^{-x}
]
Теперь подставим это в неравенство:
[
2^{-x} \leq 2^{-7}
]
Шаг 3: Сравнить показатели
Теперь, когда у нас одинаковые основания, мы можем сравнивать их показатели. Для неравенства (2^{-x} \leq 2^{-7}) мы можем записать:
[
-x \leq -7
]
Шаг 4: Упростить неравенство
Умножим обе стороны на (-1). При этом неравенство изменит свой знак:
[
x \geq 7
]
Шаг 5: Записать ответ
Таким образом, решение неравенства (\left(\frac{1}{2}\right)^x \leq \frac{1}{128}) даёт нам:
[
x \geq 7
]
Вывод
Ответ: (x \geq 7).
