Решить задачи 1. Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с катетом 12 и острым углом 45 градусов. Объём призмы равен 224 Найти площадь полной поверхности призмы 2. Квадрат со стороной 6 см в первый раз свёрнут в виде боковой поверхности правильной треугольной призмы, а второй раз в виде правильной четырёхугольной призмы. Сравните площади полных поверхностей этих призм

Давайте разберем каждую из задач по очереди. ### Задача 1: Прямая призма с основанием в виде прямоугольного треугольника 1. **Определим основание призмы**. Основание призмы — прямоугольный треугольник, один катет которого равен 12, а острый угол — 45 градусов. В таком треугольнике оба катета равны, так как угол 45 градусов подразумевает, что треугольник является равнобедренным. \[ a = 12, \quad b = 12 \quad (\text{где } a \text{ и } b \text{ - катеты}) \] 2. **Найдём площадь основания**. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times 12 \times 12 = 72 \text{ см}^2 \] 3. **Вычислим высоту призмы**. Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: \[ V = S \times h \] Подставим известные значения: \[ 224 = 72 \times h \] Найдем высоту \( h \): \[ h = \frac{224}{72} = \frac{224}{72} \approx 3.11 \text{ см} \] 4. **Найдём площадь полной поверхности призмы**. Площадь полной поверхности \( S_p \) прямой призмы равна сумме площадей двух оснований и площадей боковых граней. Площадь боковых граней можно найти следующим образом: - Площадь одного прямоугольного треугольника (основания) равна 72 см², значит для двух оснований: \[ S_{\text{оснований}} = 2 \times 72 = 144 \text{ см}^2 \] - Способы нахождения площадей боковых граней: - По два прямоугольника на каждый катет: - \( 12 \times h = 12 \times 3.11 = 37.33 \text{ см}^2 \) (для катета 12) - Площадь второго катета также будет 37.33 см². - Площадь оснований выдает еще 72 см², что дает: \[ S_{\text{боковые}} = (12 + 12) \times h = 24 \times 3.11 = 74.67 \text{ см}^2 \] 5. **Сложим все площади**: \[ S_p = S_{\text{оснований}} + S_{\text{боковые}} = 144 + 74.67 = 218.67 \text{ см}^2 \] Итак, площадь полной поверхности призмы примерно равна **218.67 см²**. ### Задача 2: Сравнение площадей полных поверхностей призм 1. **Правильная треугольная призма**. - Боковая поверхность образуется при сворачивании квадрата со стороной 6 см. Каждая сторона квадрата сворачивается в боковую грань. - Площадь одной стороны квадрата — \( 6 \times 6 = 36 \text{ см}^2 \). Для всех четырёх боковых сторон: \[ S_{\text{боковые (треугольная)}} = 3 \times 6 \times h, \quad (h = 6 \text{ см}) \] Площадь основания (площадь правильного треугольника со стороной 6 см): \[ S_{\text{основание}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 = 9\sqrt{3} \text{ см}^2 \] Площадь полной поверхности: \[ S_p = 2 \times 9\sqrt{3} + 54 = 18\sqrt{3} + 54 \] 2. **Правильная четырёхугольная призма**. - Каждое основание — квадрат со стороной 6 см: \[ S_{\text{основание (4-угольная)}} = 6^2 = 36 \text{ см}^2 \] Боковая поверхность: \[ S_{\text{боковые (4-угольная)}} = 4 \cdot 6 \cdot h = 24h = 24 \cdot 6 = 144 \text{ см}^2 \] Площадь полной поверхности: \[ S_p = 2 \times 36 + 144 = 72 + 144 = 216 \text{ см}^2 \] 3. **Сравнение**: - Площадь полной поверхности треугольной призмы: \( 18\sqrt{3} + 54 \approx 18 \cdot 1.732 + 54 \approx 31.176 + 54 \approx 85.176 \text{ см}^2\). - Площадь полной поверхности четырехугольной призмы: \( 216 \text{ см}^2\). Таким образом, площадь полной поверхности правильной четырёхугольной призмы больше, чем у треугольной. **Ответ:** 1. Площадь полной поверхности призмы: 218.67 см². 2. Площадь полной поверхности четырёхугольной призмы больше, чем у треугольной призмы.