Решить задачи 1. Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с катетом 12 и острым углом 45 градусов. Объём призмы равен 324 Найти площадь полной поверхности призмы 2. Квадрат со стороной 6 см в первый раз свёрнут в виде боковой поверхности правильной треугольной призмы, а второй раз в виде правильной четырёхугольной призмы. Сравните площади полных поверхностей этих призм

Давайте решим обе задачи по порядку, тщательно объясняя каждое шаг. ### Задача 1: Прямая призма с основанием - прямоугольный треугольник **Дано:** - Один катет \( a = 12 \) см. - Острый угол \( \alpha = 45^\circ \). - Объём призмы \( V = 324 \) см³. **Найти:** Площадь полной поверхности призмы. #### Шаг 1: Найдём второй катет и высоту треугольника Поскольку у нас прямоугольный треугольник с острым углом \( 45^\circ \), то второй катет также равен первому (по свойству равнобедренного прямоугольного треугольника): \[ b = a = 12 \text{ см} \] #### Шаг 2: Найдём площадь основания Площадь треугольника можно найти по формуле: \[ S_{осн} = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times 12 \times 12 = 72 \text{ см}^2 \] #### Шаг 3: Найдём высоту призмы Объём призмы можно выразить как: \[ V = S_{осн} \times h \] где \( h \) — высота призмы. Подставим известные значения: \[ 324 = 72 \times h \implies h = \frac{324}{72} = 4.5 \text{ см} \] #### Шаг 4: Найдём площадь полной поверхности призмы Площадь полной поверхности (ППС) призмы считается по формуле: \[ S_{ППС} = 2 \times S_{осн} + P_{бок} \times h \] где \( P_{бок} \) — периметр основания. Периметр нашему треугольнику можно найти следующим образом: \[ P = a + b + c \] где \( c \) — гипотенуза, которая находим по теореме Пифагора: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 12^2} = \sqrt{144 + 144} = \sqrt{288} = 12\sqrt{2} \text{ см} \] Теперь подставим в периметр: \[ P = 12 + 12 + 12\sqrt{2} = 24 + 12\sqrt{2} \text{ см} \] Теперь подставим все в формулу для площади полной поверхности: \[ S_{ППС} = 2 \times 72 + (24 + 12\sqrt{2}) \times 4.5 \] #### Шаг 5: Подсчет 1. \( 2 \times 72 = 144 \). 2. \( (24 + 12\sqrt{2}) \times 4.5 = 108 + 54\sqrt{2} \). Теперь общее: \[ S_{ППС} = 144 + 108 + 54\sqrt{2} = 252 + 54\sqrt{2} \text{ см}^2 \] ### Ответ для Задачи 1: Площадь полной поверхности призмы составляет \( 252 + 54\sqrt{2} \text{ см}^2 \). --- ### Задача 2: Сравнение площадей полных поверхностей призм **Дано:** - Квадрат со стороной \( 6 \) см. **Найти:** Сравнить площади полных поверхностей правильной треугольной и правильной четырёхугольной призм. #### Шаг 1: Площадь полной поверхности правильной треугольной призмы 1. Сторона основания \( a = 6 \) см. Высота призмы \( h \) будет равна стороне квадрата, то есть \( h = 6 \). 2. Площадь основания (правильного треугольника): \[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 = 9\sqrt{3} \text{ см}^2 \] 3. Периметр основания: \[ P = 3a = 3 \times 6 = 18 \text{ см} \] 4. Площадь полной поверхности (ППС): \[ S_{ППС} = 2S_{осн} + P \times h = 2 \cdot 9\sqrt{3} + 18 \cdot 6 = 18\sqrt{3} + 108 \text{ см}^2 \] #### Шаг 2: Площадь полной поверхности правильной четырёхугольной призмы 1. Сторона основания (квадрат) \( a = 6 \) см. Высота призмы – та же \( h = 6 \). 2. Площадь основания: \[ S_{осн} = a^2 = 6^2 = 36 \text{ см}^2 \] 3. Периметр основания: \[ P = 4a = 4 \times 6 = 24 \text{ см} \] 4. Площадь полной поверхности: \[ S_{ППС} = 2S_{осн} + P \times h = 2 \times 36 + 24 \times 6 = 72 + 144 = 216 \text{ см}^2 \] ### Ответ для Задачи 2: - Площадь полной поверхности правильной треугольной призмы: \( 18\sqrt{3} + 108 \) см² - Площадь полной поверхности правильной четырёхугольной призмы: \( 216 \) см² Теперь сравним: \[ 18\sqrt{3} \approx 18 \times 1.732 = 31.176 \text{ см}^2 \] Итого: \[ S_{Треугольной} \approx 31.176 + 108 \approx 139.176 \text{ см}^2 < 216 \text{ см}^2 \] Правильная четырёхугольная призма имеет большую площадь полной поверхности. ### Итог: Правильная четырёхугольная призма имеет большую площадь полной поверхности, чем правильная треугольная призма.