Решить задачи 1. Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с катетом 12 и острым углом 45 градусов. Объём призмы равен 324 Найти площадь полной поверхности призмы 2.…

Давайте решим обе задачи по порядку, тщательно объясняя каждое шаг.

Задача 1: Прямая призма с основанием - прямоугольный треугольник

Дано:

• Один катет \( a = 12 \) см.
• Острый угол \( \alpha = 45^\circ \).
• Объём призмы \( V = 324 \) см³.

Найти: Площадь полной поверхности призмы.

Шаг 1: Найдём второй катет и высоту треугольника

Поскольку у нас прямоугольный треугольник с острым углом \( 45^\circ \), то второй катет также равен первому (по свойству равнобедренного прямоугольного треугольника):

\[ b = a = 12 \text{ см} \]

Шаг 2: Найдём площадь основания

Площадь треугольника можно найти по формуле:

\[ S_{осн} = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times 12 \times 12 = 72 \text{ см}^2 \]

Шаг 3: Найдём высоту призмы

Объём призмы можно выразить как:

\[ V = S_{осн} \times h \]

где \( h \) — высота призмы. Подставим известные значения:

\[ 324 = 72 \times h \implies h = \frac{324}{72} = 4.5 \text{ см} \]

Шаг 4: Найдём площадь полной поверхности призмы

Площадь полной поверхности (ППС) призмы считается по формуле:

\[ S_{ППС} = 2 \times S_{осн} + P_{бок} \times h \]

где \( P_{бок} \) — периметр основания. Периметр нашему треугольнику можно найти следующим образом:

\[ P = a + b + c \]

где \( c \) — гипотенуза, которая находим по теореме Пифагора:

\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 12^2} = \sqrt{144 + 144} = \sqrt{288} = 12\sqrt{2} \text{ см} \]

Теперь подставим в периметр:

\[ P = 12 + 12 + 12\sqrt{2} = 24 + 12\sqrt{2} \text{ см} \]

Теперь подставим все в формулу для площади полной поверхности:

\[ S_{ППС} = 2 \times 72 + (24 + 12\sqrt{2}) \times 4.5 \]

Шаг 5: Подсчет

1. \( 2 \times 72 = 144 \).
2. \( (24 + 12\sqrt{2}) \times 4.5 = 108 + 54\sqrt{2} \).

Теперь общее:

\[ S_{ППС} = 144 + 108 + 54\sqrt{2} = 252 + 54\sqrt{2} \text{ см}^2 \]

Ответ для Задачи 1:

Площадь полной поверхности призмы составляет \( 252 + 54\sqrt{2} \text{ см}^2 \).

---

Задача 2: Сравнение площадей полных поверхностей призм

Дано:

• Квадрат со стороной \( 6 \) см.

Найти: Сравнить площади полных поверхностей правильной треугольной и правильной четырёхугольной призм.

Шаг 1: Площадь полной поверхности правильной треугольной призмы

1. Сторона основания \( a = 6 \) см. Высота призмы \( h \) будет равна стороне квадрата, то есть \( h = 6 \).
2. Площадь основания (правильного треугольника):

\[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 = 9\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

3. Периметр основания:

\[ P = 3a = 3 \times 6 = 18 \text{ см} \]

4. Площадь полной поверхности (ППС):

\[ S_{ППС} = 2S_{осн} + P \times h = 2 \cdot 9\sqrt{3} + 18 \cdot 6 = 18\sqrt{3} + 108 \text{ см}^2 \]

Шаг 2: Площадь полной поверхности правильной четырёхугольной призмы

1. Сторона основания (квадрат) \( a = 6 \) см. Высота призмы – та же \( h = 6 \).
2. Площадь основания:

\[ S_{осн} = a^2 = 6^2 = 36 \text{ см}^2 \]

3. Периметр основания:

\[ P = 4a = 4 \times 6 = 24 \text{ см} \]

4. Площадь полной поверхности:

\[ S_{ППС} = 2S_{осн} + P \times h = 2 \times 36 + 24 \times 6 = 72 + 144 = 216 \text{ см}^2 \]

Ответ для Задачи 2:

• Площадь полной поверхности правильной треугольной призмы: \( 18\sqrt{3} + 108 \) см²
• Площадь полной поверхности правильной четырёхугольной призмы: \( 216 \) см²

Теперь сравним:

\[ 18\sqrt{3} \approx 18 \times 1.732 = 31.176 \text{ см}^2 \]

Итого:

\[ S_{Треугольной} \approx 31.176 + 108 \approx 139.176 \text{ см}^2 < 216 \text{ см}^2 \]

Правильная четырёхугольная призма имеет большую площадь полной поверхности.

Итог:

Правильная четырёхугольная призма имеет большую площадь полной поверхности, чем правильная треугольная призма.