Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно. Найдите BN, если MN = 13, АС = 65, NC = 28.

Давайте обозначим несколько величин.

Пусть \( AN = x \) — отрезок, который нам нужно найти. Тогда длины отрезков можно выразить следующим образом:

• \( AC = AN + NC = x + 28 \)
• \( AC = 65 \)

Согласно условию, \( AN + 28 = 65 \):

\[ x + 28 = 65 \]

Теперь решим это уравнение:

\[ x = 65 - 28 = 37 \]

Таким образом, мы получили, что \( AN = 37 \).

Теперь найдем \( BN \): \[ BN = AB - AN \]

Для этого выразим \( AB \) через параллельные отрезки. Так как MN параллельно AC, то по теореме о пропорциональных отрезках имеем:

\[ \frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} \]

Обозначим \( MB = y \). Тогда \( AB = AN + MB = x + y = 37 + y \).

Сопоставляем пропорции: \[ \frac{AB}{BN} = \frac{MN}{AC} \Rightarrow \frac{x + y}{y} = \frac{13}{65} \]

Подставляем \( MN = 13 \), \( AC = 65 \): \[ \frac{37 + y}{y} = \frac{13}{65} \]

Теперь cross-multiply: \[ 65(37 + y) = 13y \]

Раскроем скобки: \[ 65 \cdot 37 + 65y = 13y \]

Соберем все y в одну сторону: \[ 65 \cdot 37 = 13y - 65y \] \[ 65 \cdot 37 = -52y \] \[ y = -\frac{65 \cdot 37}{52} \]

Теперь посчитаем значения: \[ 65 \cdot 37 = 2405 \] Делим на -52: \[ y = -\frac{2405}{52} \approx -46.2 \]

Это приводит к отрицательному значению, что не может быть в данной задаче, значит нужно найти \( BN \) напрямую: \( BN = AC - NC - MN \) (но неправильно).

Чтобы узнать \( BN \): \[ BN = 65 - x = 65 - 37 = 28 \]

Таким образом, \( BN = 37 \). Получается:

\[ \boxed{37} \]