x²-16=6x
Чтобы решить уравнение \(x^2 - 16 = 6x\), следуем пошагово, объясняя каждый этап.
Шаг 1: Привести уравнение к стандартному виду
Начнем с того, что непонятные элементы уравнения можно переписать, чтобы все члены были одной стороны. Для этого перенесем все элементы на одну сторону уравнения. Мы можем сделать это, вычитая \(6x\) из обоих сторон:
\[ x^2 - 6x - 16 = 0 \]
Теперь у нас есть квадратное уравнение в стандартной форме \(ax^2 + bx + c = 0\), где:
- \(a = 1\),
- \(b = -6\),
- \(c = -16\).
Шаг 2: Найти дискриминант
Теперь найдем дискриминант (D) для этого уравнения. Формула для дискриминанта следующая:
\[ D = b^2 - 4ac \]
Подставим значения \(a\), \(b\) и \(c\):
\[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100 \]
Шаг 3: Найти корни уравнения
Теперь, когда мы знаем дискриминант, мы можем найти корни уравнения. Используем формулу для корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставим наши значения:
\[ x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 10}{2} \]
Теперь решим для двух случаев (плюс и минус):
- Первый корень:
\[ x_1 = \frac{6 + 10}{2} = \frac{16}{2} = 8 \]
- Второй корень:
\[ x_2 = \frac{6 - 10}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]
Шаг 4: Записать ответ
Таким образом, у нас есть два корня уравнения:
\[ x_1 = 8 \] \[ x_2 = -2 \]
Шаг 5: Проверка корней
Можно проверить, подставив найденные значения обратно в исходное уравнение, чтобы удостовериться, что они верные.
- Для \(x = 8\):
\[ (8)^2 - 16 = 64 - 16 = 48 \quad \text{и} \quad 6 \cdot 8 = 48 \quad (\text{верно!}) \]
- Для \(x = -2\):
\[ (-2)^2 - 16 = 4 - 16 = -12 \quad \text{и} \quad 6 \cdot (-2) = -12 \quad (\text{верно!}) \]
Заключение
Оба корня \(x = 8\) и \(x = -2\) удовлетворяют исходному уравнению. Таким образом, мы получили решение.
