10. Решите уравнение: a) x ^ 2 - 5x + 6 = 0 6) y ^ 2 = 5y B) 3x ^ 2 - 27 = 0 г) 3x ^ 2 - 14x + 8 = 0 2. Периметр прямоугольника равен 182 м, а его площадь 1830 м². Найдите длины…

Давайте последовательно решим предложенные задачи.

Задача 1: Решение уравнений

a) \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)

Это квадратное уравнение, его можно решить с использованием формулы корней квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Здесь \( a = 1 \), \( b = -5 \), \( c = 6 \).

1. Вычислим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \]

2. Найдем корни: \[ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 1}{2} \] \[ x_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{4}{2} = 2 \]

Ответ: \( x_1 = 3 \), \( x_2 = 2 \).

6) \( y^2 = 5y \)

Переписываем уравнение: \[ y^2 - 5y = 0 \]

1. Вынесем \( y \) за скобки: \[ y(y - 5) = 0 \]

2. Установим каждое из множителей в ноль: \[ y_1 = 0, \quad y_2 = 5 \]

Ответ: \( y_1 = 0 \), \( y_2 = 5 \).

B) \( 3x^2 - 27 = 0 \)

1. Переписываем уравнение: \[ 3x^2 = 27 \]

2. Делим обе стороны на 3: \[ x^2 = 9 \]

3. Извлекаем корень: \[ x = \pm 3 \]

Ответ: \( x_1 = 3 \), \( x_2 = -3 \).

г) \( 3x^2 - 14x + 8 = 0 \)

Используем ту же формулу для нахождения корней:

1. Найдем дискриминант: \[ D = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 196 - 96 = 100 \]

2. Найдем корни: \[ x = \frac{14 \pm \sqrt{100}}{6} = \frac{14 \pm 10}{6} \] \[ x_1 = \frac{24}{6} = 4, \quad x_2 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]

Ответ: \( x_1 = 4 \), \( x_2 = \frac{2}{3} \).

Задача 2: Периметр и площадь прямоугольника

Пусть длины сторон прямоугольника равны \( a \) и \( b \).

Известно:

• Периметр: \( P = 2(a + b) = 182 \) → \( a + b = 91 \)
• Площадь: \( S = a \cdot b = 1830 \)

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( a + b = 91 \)
2. \( a \cdot b = 1830 \)

Выразим \( b \) через \( a \): \[ b = 91 - a \]

Подставим \( b \) во второе уравнение: \[ a(91 - a) = 1830 \] \[ 91a - a^2 = 1830 \] \[ a^2 - 91a + 1830 = 0 \]

Теперь находим дискриминант: \[ D = 91^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1830 = 8281 - 7320 = 961 \]

Находим корни: \[ a = \frac{91 \pm \sqrt{961}}{2} = \frac{91 \pm 31}{2} \] \[ a_1 = \frac{122}{2} = 61, \quad a_2 = \frac{60}{2} = 30 \]

Следовательно, \( b = 30 \) или \( b = 61 \).

Ответ: длины сторон прямоугольника 61 м и 30 м.

Задача 3: Найдите другой корень и коэффициент \( p \)

Дано уравнение: \[ x^2 + px + 72 = 0 \] Один из корней равен \( -8 \). Обозначим второй корень как \( r \).

По теореме Виета:

1. Сумма корней: \( -8 + r = -p \) → \( r = p - 8 \)
2. Произведение корней: \( -8 \cdot r = 72 \) → \( r = \frac{-72}{-8} = 9 \)

Теперь подставляем значение второго корня: \[ p - 8 = 9 \implies p = 9 + 8 = 17 \]

Ответ: другой корень \( r = 9 \) и коэффициент \( p = 17 \).