Давайте последовательно решим предложенные задачи.
Задача 1: Решение уравнений
a) ( x^2 - 5x + 6 = 0 )
Это квадратное уравнение, его можно решить с использованием формулы корней квадратного уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
Здесь ( a = 1 ), ( b = -5 ), ( c = 6 ).
Вычислим дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1
]
Найдем корни:
[
x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 1}{2}
]
[
x_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{4}{2} = 2
]
Ответ: ( x_1 = 3 ), ( x_2 = 2 ).
6) ( y^2 = 5y )
Переписываем уравнение:
[
y^2 - 5y = 0
]
Вынесем ( y ) за скобки:
[
y(y - 5) = 0
]
Установим каждое из множителей в ноль:
[
y_1 = 0, \quad y_2 = 5
]
Ответ: ( y_1 = 0 ), ( y_2 = 5 ).
B) ( 3x^2 - 27 = 0 )
Переписываем уравнение:
[
3x^2 = 27
]
Делим обе стороны на 3:
[
x^2 = 9
]
Извлекаем корень:
[
x = \pm 3
]
Ответ: ( x_1 = 3 ), ( x_2 = -3 ).
г) ( 3x^2 - 14x + 8 = 0 )
Используем ту же формулу для нахождения корней:
Найдем дискриминант:
[
D = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 196 - 96 = 100
]
Найдем корни:
[
x = \frac{14 \pm \sqrt{100}}{6} = \frac{14 \pm 10}{6}
]
[
x_1 = \frac{24}{6} = 4, \quad x_2 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
]
Ответ: ( x_1 = 4 ), ( x_2 = \frac{2}{3} ).
Задача 2: Периметр и площадь прямоугольника
Пусть длины сторон прямоугольника равны ( a ) и ( b ).
Известно:
- Периметр: ( P = 2(a + b) = 182 ) → ( a + b = 91 )
- Площадь: ( S = a \cdot b = 1830 )
Теперь у нас есть система уравнений:
- ( a + b = 91 )
- ( a \cdot b = 1830 )
Выразим ( b ) через ( a ):
[
b = 91 - a
]
Подставим ( b ) во второе уравнение:
[
a(91 - a) = 1830
]
[
91a - a^2 = 1830
]
[
a^2 - 91a + 1830 = 0
]
Теперь находим дискриминант:
[
D = 91^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1830 = 8281 - 7320 = 961
]
Находим корни:
[
a = \frac{91 \pm \sqrt{961}}{2} = \frac{91 \pm 31}{2}
]
[
a_1 = \frac{122}{2} = 61, \quad a_2 = \frac{60}{2} = 30
]
Следовательно, ( b = 30 ) или ( b = 61 ).
Ответ: длины сторон прямоугольника 61 м и 30 м.
Задача 3: Найдите другой корень и коэффициент ( p )
Дано уравнение:
[
x^2 + px + 72 = 0
]
Один из корней равен ( -8 ). Обозначим второй корень как ( r ).
По теореме Виета:
- Сумма корней: ( -8 + r = -p ) → ( r = p - 8 )
- Произведение корней: ( -8 \cdot r = 72 ) → ( r = \frac{-72}{-8} = 9 )
Теперь подставляем значение второго корня:
[
p - 8 = 9 \implies p = 9 + 8 = 17
]
Ответ: другой корень ( r = 9 ) и коэффициент ( p = 17 ).
